Введение

Параболоидные координаты - это трехмерные ортогональные координаты, которые обобщают двухмерные параболические координаты. Они обладают эллиптическими параболоидами как одной из координатных поверхностей. Как таковые, их следует отличать от параболических цилиндрических координат и параболических вращательных координат, которые также являются обобщениями двухмерных параболических координат. Координаты первых - это параболические цилиндры, а координаты последних - круговые параболоиды. В отличие от цилиндрических и вращающихся параболических координат, но аналогично связанным эллипсоидным координат, координатные поверхности параболоидной системы координат не образуются путем вращения или проекции любой двумерной ортогональной системы координат.

Приложения

Параболоидные координаты могут быть полезны для решения некоторых дифференциальных уравнений. Например, уравнение Лапласа и уравнение Гельмгольца обоих можно разделить в параболоидных координатах. Следовательно, координаты могут быть использованы для решения этих уравнений в геометрии с параболоидной симметрией, т. е. с пограничными условиями, указанными на сечениях параболоидов. Уравнение Гельмгольца принимает , разделенные уравнения где и являются двумя константами разделения. Аналогичным образом, раздельные уравнения для уравнения Лапласа можно получить, установив в вышеприведенном. Каждое из разделенных уравнений может быть представлено в виде уравнения Баера. Прямое решение уравнений затруднено, однако, отчасти потому, что константы разделения и появляются одновременно во всех трех уравнениях. Следуя вышеуказанному подходу, параболоидные координаты были использованы для решения задачи по электрическому полю, окружающему проводящий параболоид.