Введение
обобщение базовой концепции В алгебре, абсолютное значение (также называемое оценкой, величиной или нормой, хотя "норма" обычно относится к определенному типу абсолютного значения на поле) - это функция, которая измеряет "размер" элементов в поле или интегральной области. Кроме того, для каждого положительного целого числа n, n x 1 + 1 + 1 (n раз) x 1 = − 1 − − 1 (n раз) x ≤ n. Классическое "абсолютное значение" - это то, в котором, например, 2 x = 2, но многие другие функции выполняют требования, изложенные выше, например, квадратный корень классического абсолютного значения (но не его квадрат). Абсолютное значение индуцирует метрику (и, следовательно, топологию) путем
In algebra, an absolute value (also called a valuation, magnitude, or norm, although "norm" usually refers to a specific kind of absolute value on a field) is a function which measures the "size" of elements in a field or integral domain. More precisely, if D is an integral domain, then an absolute value is any mapping |x| from D to the real numbers R satisfying:
• (non negativity) • if and only if (positive definiteness) • (multiplicativity) • (triangle inequality)
It follows from these axioms that |1| = 1 and |−1| = 1. Furthermore, for every positive integer n,
|n| = |1 + 1 + + 1 (n times)| = |−1 − 1 − − 1 (n times)| ≤ n.
The classical "absolute value" is one in which, for example, |2| = 2, but many other functions fulfill the requirements stated above, for instance the square root of the classical absolute value (but not the square thereof). An absolute value induces a metric (and thus a topology) by
Типы абсолютных значений
Тривиальное абсолютное значение - это абсолютное значение с x x = 0 когда x = 0 и x x = 1 в противном случае. Каждая интегральная область может нести, по крайней мере, тривиальное абсолютное значение. Тривиальное значение является единственным возможным абсолютным значением на конечном поле, потому что любой ненулевый элемент может быть поднят до некоторой степени, чтобы получить 1. Если абсолютное значение удовлетворяет более сильному свойству x + y y ≤ max ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
Места
Если х х1 и х х2 - два абсолютных значения на одной и той же интегральной области D, то два абсолютных значения эквивалентны, если х х1 < 1 если и только если х х2 < 1 для всех х. Если два нетривиальных абсолютных значения эквивалентны, то для некоторого показателя e мы имеем x x 1 e = x x 2 для всех х. Повышение абсолютного значения до степени меньше 1 приводит к получению другого абсолютного значения, но повышение до степени больше 1 не обязательно приводит к получению абсолютного значения. (Например, возведение в квадрат обычного абсолютного значения на реальные числа дает функцию, которая не является абсолютным значением, потому что она нарушает правило: x+y Bersih ≤ x Bersih+ Bersih Bersih.) Абсолютные значения до эквивалентности, или другими словами, эквивалентный класс абсолютных значений, называется местом. Теорема Островского гласит, что нетривиальные места рациональных чисел Q являются обычным абсолютным значением и pадическим абсолютным значением для каждого простых чисел p. Для данного простых чисел p любое рациональное число q может быть написано как pn(a/b), где a и b - целые числа, не делящиеся на p, а n - целое число. Абсолютное значение pадика q является, поскольку обычное абсолютное значение и абсолютные значения pадика являются абсолютными значениями согласно вышеуказанному определению, они определяют места.
Since the ordinary absolute value and the p adic absolute values are absolute values according to the definition above, these define places.
Завершения
При наличии целостной области D с абсолютным значением, мы можем определить последовательности Коши элементов D относительно абсолютного значения, требуя, чтобы для каждого ε > 0 было положительное целое число N, так что для всех целых чисел m, n > N один имеет х . м − хн < ε. Последовательности Коши образуют кольцо под точечным сложением и умножением. Можно также определить нулевую последовательность как последовательность элементов D, при которой a сходится с нулем. Нулевые последовательности являются простым идеалом в кольце последовательностей Коши, и кольцо коэффициентов, следовательно, является интегральной областью. Домен D встроен в это кольцо, называемое завершением D относительно абсолютного значения x x. Поскольку поля являются интегральными доменами, это также является конструкцией для завершения поля относительно абсолютного значения. Чтобы показать, что результат - это поле, а не просто интегральная область, мы можем либо показать, что нулевые последовательности образуют максимальный идеал, либо построить прямо обратную. Последнее можно легко сделать, взяв для всех ненулевых элементов кольца долей последовательность, начинающуюся с точки за пределами последнего нулевого элемента последовательности. Любой ненулевой элемент кольца будет отличаться нулевой последовательностью от такой последовательности, и, принимая точечную инверсию, мы можем найти репрезентативный обратный элемент. Другая теорема Александра Островского гласит, что любое поле, полное относительно абсолютного значения Архимеда, изоморфно либо к действительным, либо к комплексным числам, и оценка эквивалентна обычной. Теорема Гельфанд Торнхайма гласит, что любое поле с архимедовой оценкой изоморфно подполю C, а оценка эквивалентна обычному абсолютному значению C.