Введение

Топологическое пространство с ограниченным изображением под любой непрерывной функцией к R В математике, в области топологии, топологическое пространство называется псевдокомпактным, если его изображение под любой непрерывной функцией к R ограничено. Многие авторы включают требование, чтобы пространство было полностью регулярным в определение псевдокомпактности. Псевдокомпактные пространства были определены Эдвином Хьюитом в 1948 году.

Свойства, связанные с псевдокомпактностью

Для того, чтобы пространство Тихонова X было псевдокомпактным, требуется, чтобы каждая локально конечная коллекция непустых открытых множеств X была конечной. Существует много эквивалентных условий псевдокомпактности (иногда следует принять некоторую аксиому разделения); большое количество из них приводится в Stephenson 2003. Некоторые исторические замечания о более ранних результатах можно найти в Engelking 1989, стр. 211. Любое компактное пространство, которое можно посчитать, является псевдокомпактным. Для нормальных пространств Хаусдорфа обратное верно. Вследствие вышеуказанного результата, каждое последовательно компактное пространство является псевдокомпактным. Обратное верно для метрических пространств. Поскольку последовательная компактность является эквивалентным условием компактности для метрических пространств, это подразумевает, что компактность является эквивалентным условием псевдокомпактности и для метрических пространств. Слабый результат, что каждое компактное пространство является псевдокомпактным, легко доказывается: изображение компактного пространства под любой непрерывной функцией является компактным, и каждое компактное множество в метрическом пространстве ограничено. Если Y - непрерывное изображение псевдокомпактного X, то Y - псевдокомпактный. Обратите внимание, что для непрерывных функций g: X → Y и h: Y → R, состав g и h, называемый f, является непрерывной функцией от X до действительных чисел. Поэтому f ограничен, а Y псевдокомпакт. Пусть X является бесконечным множеством с учетом топологии конкретной точки. Тогда X не является ни компактным, ни последовательно компактным, ни счетно компактным, ни паракомпактным, ни метакомпактным (хотя он и ортокомпактный). Однако, поскольку X гиперсвязан, он псевдокомпактный. Это показывает, что псевдокомпактность не подразумевает никаких других форм компактности. Для того, чтобы пространство Хаусдорфа X было компактным, требуется, чтобы X было псевдокомпактным и реальнокомпактным (см. Engelking 1968, с. 153). Для того, чтобы пространство Тихонова X было компактным, требуется, чтобы X был псевдокомпактным и метакомпактным (см. Уотсон).

Псевдокомпактные топологические группы

Для псевдокомпактных топологических групп доступна относительно усовершенствованная теория. В частности, У. У. Комфорт и Кеннет А. Росс доказали, что продукт псевдокомпактных топологических групп все еще является псевдокомпактным (это может не удаться для произвольных топологических пространств).