Введение
Топология в изучении субармонических функций В математике, в области теории потенциалов, тонкая топология является естественной топологией для установки изучения субармонических функций. В самых ранних исследованиях субармонических функций, а именно тех, для которых используется лаплацианский, рассматривались только гладкие функции. В этом случае было естественно рассматривать только евклидовую топологию, но с появлением верхних полунепрерывных субармонических функций, введенных Ф. Риессом, тонкая топология стала более естественным инструментом во многих ситуациях.
In mathematics, in the field of potential theory, the fine topology is a natural topology for setting the study of subharmonic functions. In the earliest studies of subharmonic functions, namely those for which where is the Laplacian, only smooth functions were considered. In that case it was natural to consider only the Euclidean topology, but with the advent of upper semi continuous subharmonic functions introduced by F. Riesz, the fine topology became the more natural tool in many situations.
Определение
Прекрасная топология на евклидовом пространстве определяется как наиболее грубая топология, делающая все субармонические функции (эквивалентно всем супергармоническим функциям) непрерывными. Понятия в тонкой топологии обычно предшествуют словом "тонкий", чтобы отличить их от соответствующих понятий в обычной топологии, например, "тонкий сосед" или "тонкий непрерывный".
Замечания
Прекрасная топология была введена в 1940 году Анри Картаном для помощи в изучении тонких множеств и изначально считалась несколько патологической из-за отсутствия ряда свойств, таких как локальная компактность, которые так часто полезны в анализе. Последующие работы показали, что отсутствие таких свойств в определенной степени компенсируется наличием других чуть менее сильных свойств, таких как квази-собственность Линделоуфа. В одном измерении, то есть на реальной прямой, тонкая топология совпадает с обычной топологией, поскольку в этом случае субармонические функции являются именно выпуклыми функциями, которые уже непрерывны в обычной (Евклидовой) топологии. Таким образом, тонкая топология представляет наибольший интерес в том случае, когда тонкая топология в этом случае строго более тонка, чем обычная топология, поскольку существуют прерывистые субармонические функции. Картан в переписке с Марселем Брело заметил, что в равной степени возможно развить теорию тонкой топологии, используя понятие "тонкости". В этом развитии множество является тонким в точке, если существует субармоническая функция, определенная на соседстве с таким, что тогда множество является тонким соседством, если и только если комплемент тонкий в .
Then, a set is a fine neighbourhood of if and only if the complement of is thin at .