Введение

В теории вероятности случайный элемент - это обобщение понятия случайной переменной на более сложные пространства, чем простая реальная линия. Концепция была введена Кьюсом, который прокомментировал, что развитие теории вероятности и расширение области ее применения привели к необходимости перехода от схем, где (случайные) результаты экспериментов могут быть описаны числом или конечным набором чисел, к схемам, где результаты экспериментов представляют, например, векторы, функции, процессы, поля, ряды, преобразования, а также множества или коллекции множеств. Современное использование случайного элемента часто предполагает, что пространство значений является топологическим векторным пространством, часто пространством Банаха или Гильберта с определенной естественной сигма-алгеброй подмножеств.

Определение

Пусть будет пространство вероятности, и измеряемое пространство. Случайный элемент с значениями в E является функцией X: Ω→E, которая является измеримой. То есть функция X такая, что для любого , преображение B лежит в Иногда случайные элементы с значениями в называются оцененными случайными переменными. Заметим, что если , где действительные числа, и является его алгеброй Бореля σ, то определение случайного элемента является классическим определением случайной переменной. Определение случайного элемента с значениями в пространстве Банаха обычно понимается как использование наименьшей алгебры на B, для которой каждый ограниченный линейный функционал измерим. Эквивалентное определение, в данном случае, вышеизложенному, заключается в том, что карта , из пространства вероятности, является случайным элементом, если является случайной переменной для каждого ограниченного линейного функционала f, или, эквивалентно, что слабо измеримо.

Случайная переменная

Случайная переменная - это самый простой тип случайного элемента. Это карта, это измеримая функция от множества возможных результатов до, как реальная оцененная функция, часто описывает некоторую числовую величину данного события. Например, количество голов после определенного количества подбрасывания монеты; высоты разных людей. Когда изображение (или диапазон) является конечным или бесконечным, случайная переменная называется дискретной случайной переменной, и ее распределение может быть описано вероятностной массовой функцией, которая присваивает вероятность каждому значению в изображении. Если изображение бесконечно бесконечно, то называется непрерывной случайной переменной. В особом случае, когда она абсолютно непрерывна, ее распределение может быть описано функцией плотности вероятности, которая присваивает вероятности интервалам; в частности, каждая отдельная точка обязательно должна иметь вероятность нуля для абсолютно непрерывной случайной переменной. Не все непрерывные случайные переменные абсолютно непрерывны, например, распределение смеси. Такие случайные переменные не могут быть описаны плотностью вероятности или функцией массы вероятности.

Случайный вектор

Случайный вектор - это вектор столбца (или его транспоза, который является вектором строки), компоненты которого являются скалярными оцененными случайными переменными на том же пространстве вероятности , где находится пространство выборки, является сигма-алгебра (совокупность всех событий) и является мерой вероятности (функция, возвращающая вероятность каждого события). Случайные векторы часто используются в качестве базовой реализации различных типов агрегированных случайных переменных, например, случайная матрица, случайное дерево, случайная последовательность, случайный процесс и т. Д.

Случайная матрица

Случайная матрица - это матрица, оцениваемая как случайный элемент. Многие важные свойства физических систем могут быть представлены математически как матричные задачи. Например, теплопроводность решетки может быть вычислена из динамической матрицы взаимодействий частиц частиц внутри решетки.

Случайная функция

Случайная функция - это тип случайного элемента, в котором выбирается один результат из некоторого семейства функций, где семейство состоит из некоторого класса всех карт от домена до кодомена. Например, класс может быть ограничен всеми непрерывными функциями или всеми ступенчатыми функциями. Значения, определяемые случайной функцией, оцениваемой в разных точках одной и той же реализации, обычно не являются статистически независимыми, но, в зависимости от модели, значения, определяемые в одних и тех же или разных точках из разных реализаций, могут рассматриваться как независимые.

Случайный процесс

Случайный процесс представляет собой набор случайных переменных, представляющих эволюцию некоторой системы случайных значений с течением времени. Это вероятностный аналог детерминированного процесса (или детерминированной системы). Вместо описания процесса, который может развиваться только одним путем (как в случае, например, решений обычного дифференциального уравнения), в стохастическом или случайном процессе существует некоторая неопределенность: даже если начальное условие (или начальная точка) известно, существует несколько (часто бесконечно много) направлений, в которых процесс может развиваться. В простом случае дискретного времени, в отличие от непрерывного времени, стохастический процесс включает в себя последовательность случайных переменных и временные ряды, связанные с этими случайными переменными (например, см. Марковскую цепь, также известную как дискретная цепь Маркова).

Случайная мера

Случайная мера - это мера, оцениваемая случайным элементом. Пусть X является полным разделяемым метрическим пространством и σ-алгеброй его множеств Бореля. Борельская мера μ на X является ограниченно конечной, если μ(A) < ∞ для каждого ограниченного множества Бореля A. Пусть пространство всех ограниченно конечных измерений на Пусть (Ω, F, P) будет пространством вероятности, затем случайная мера отображает из этого пространства вероятности в измеряемое пространство (, ). Мера обычно может быть расщеплена как: Здесь есть диффузная мера без атомов, а это чисто атомная мера.

Случайные геометрические объекты

К ним относятся случайные точки, случайные фигуры и случайные формы.