Введение

Философия математики, признающая существование только конечных математических объектов. Финитизм – это философия математики, признающая существование лишь конечных математических объектов. Её лучше всего понимать в сопоставлении с преобладающей философией математики, где бесконечные математические объекты (например, бесконечные множества) считаются допустимыми.

Основная идея

Основная идея финитистской математики состоит в непринятии существования бесконечных объектов, таких как бесконечные множества. Признаётся существование всех натуральных чисел, однако множество всех натуральных чисел не рассматривается как существующий математический объект. Следовательно, квантификация по бесконечным областям не считается осмысленной. Математическая теория, часто ассоциируемая с финитизмом, – это примитивно рекурсивная арифметика Торальфа Сколема.

История

Введение бесконечных математических объектов произошло несколько столетий назад, когда использование бесконечных объектов уже было предметом споров среди математиков. Этот вопрос вступил в новую фазу, когда Георг Кантор в 1874 году представил то, что сейчас называется наивной теорией множеств, и использовал её в качестве основы для своих работ о трансфинитных числах. Когда в наивной теории множеств Кантора были обнаружены парадоксы, такие как парадокс Рассела, парадокс Берри и парадокс Бурали-Форти, эта проблема стала острой темой для обсуждения среди математиков. Математики придерживались различных позиций. Все соглашались в отношении конечных математических объектов, таких как натуральные числа. Однако существовали разногласия относительно бесконечных математических объектов. Одной из позиций была интуиционистская математика, которую отстаивал Л. Э. Й. Брауэр, отвергавший существование бесконечных объектов до тех пор, пока они не будут сконструированы. Другую позицию поддерживал Давид Гильберт: конечные математические объекты — это конкретные объекты, бесконечные математические объекты — идеальные объекты, и принятие идеальных математических объектов не создаёт проблем в отношении конечных математических объектов. Более формально, Гильберт полагал, что можно показать, что любое утверждение о конечных математических объектах, которое может быть получено с использованием идеальных бесконечных объектов, также может быть получено и без них. Следовательно, допущение бесконечных математических объектов не вызовет проблем в отношении конечных объектов. Это привело к программе Гильберта по доказательству как непротиворечивости, так и полноты теории множеств с использованием финитистических средств, поскольку это означало бы, что добавление идеальных математических объектов является консервативным расширением финитистической части. Взгляды Гильберта также связаны с формалистской философией математики. Цель Гильберта — доказать непротиворечивость и полноту теории множеств или даже арифметики с помощью финитистических средств — оказалась невыполнимой задачей из-за теорем о неполноте Курта Гёделя. Однако великое предположение Харви Фридмана подразумевает, что большинство математических результатов можно доказать с использованием финитистических средств. Гильберт не дал строгого определения того, что он считал финитистическим, и использовал термин «элементарный». Однако, основываясь на его работе с Полем Бернейсом, некоторые специалисты утверждают, что примитивно рекурсивная арифметика может рассматриваться как верхняя граница того, что Гильберт считал финитистической математикой. В результате теорем Гёделя, когда стало ясно, что нет надежды доказать как непротиворечивость, так и полноту математики, и с развитием, казалось бы, непротиворечивых аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств Цермело — Френкеля, большинство современных математиков не уделяют этой теме особого внимания.

Классический финитизм против строгого финитизма

В своей книге "Философия теории множеств" Мэри Тайлс характеризует тех, кто допускает потенциально бесконечные объекты, как классических финитистов, а тех, кто не допускает потенциально бесконечные объекты, как строгих финитистов: например, классический финитист допустит утверждения вроде "у каждого натурального числа есть преемник" и признает осмысленность бесконечных рядов как пределов конечных частных сумм, в то время как строгий финитист этого не допустит. Исторически, письменная история математики была классически финитистской до тех пор, пока Кантор не создал иерархию трансфинитных кардиналов в конце XIX века.

Другие связанные философии математики

Ультрафинитизм (также известный как ультраинтуиционизм) занимает еще более консервативную позицию по отношению к математическим объектам, чем финитизм, и возражает против существования конечных математических объектов, если они слишком велики. К концу XX века Джон Пенн Мэйберри разработал систему конечной математики, которую он назвал «Евклидовой арифметикой». Наиболее характерной особенностью его системы является полное и строгое отрицание особого фундаментального статуса, обычно приписываемого итеративным процессам, в частности, построению натуральных чисел посредством итерации "+1". Следовательно, Мэйберри резко не согласен с теми, кто стремится отождествить конечную математику с арифметикой Пеано или любым из её фрагментов, например, примитивно рекурсивной арифметикой.