Введение
(Математическое) кольцо с единственным максимальным идеалом. В математике, в частности в теории колец, локальные кольца – это определённые кольца, которые относительно просты и служат для описания так называемого "локального поведения" в смысле функций, заданных на алгебраических многообразиях или многообразияx, или алгебраических числовых полей, изучаемых в определённом месте или простом числе. Локальная алгебра – это раздел коммутативной алгебры, изучающий коммутативные локальные кольца и их модули. На практике коммутативное локальное кольцо часто возникает как результат локализации кольца по простому идеалу. Концепция локальных колец была введена Вольфгангом Круллом в 1938 году под названием Stellenringe. Английский термин "local ring" был предложен Зариски.
In mathematics, more specifically in ring theory, local rings are certain rings that are comparatively simple, and serve to describe what is called "local behaviour", in the sense of functions defined on algebraic varieties or manifolds, or of algebraic number fields examined at a particular place, or prime. Local algebra is the branch of commutative algebra that studies commutative local rings and their modules. In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal. The concept of local rings was introduced by Wolfgang Krull in 1938 under the name Stellenringe. The English term local ring is due to Zariski.
Примеры
Все поля (и поля наклонения) являются локальными кольцами, так как {0} является единственным максимальным идеалом в этих кольцах. Кольцо является локальным кольцом (p – простое число, n ≥ 1). Единственный максимальный идеал состоит из всех кратных p.
В более общем случае, ненулевое кольцо, в котором каждый элемент является либо обратимым, либо нильпотентным, является локальным кольцом. Важным классом локальных колец являются дискретные кольца оценок, которые являются локальными областями главных идеалов, не являющимися полями. Кольцо, элементы которого представляют собой бесконечные ряды , где умножение задано таким образом, что , является локальным. Его единственный максимальный идеал состоит из всех необратимых элементов. Иными словами, он состоит из всех элементов с нулевым свободным членом. В более общем случае, каждое кольцо формальных степенных рядов над локальным кольцом является локальным; максимальный идеал состоит из тех степенных рядов, у которых свободный член принадлежит максимальному идеалу базового кольца. Аналогично, алгебра двойных чисел над любым полем является локальной. В более общем случае, если F – локальное кольцо, а n – положительное целое число, то факторкольцо F[X]/(Xn) является локальным с максимальным идеалом, состоящим из классов многочленов со свободным членом, принадлежащим максимальному идеалу F, поскольку можно использовать геометрический ряд для инвертирования всех остальных многочленов по модулю Xn. Если F является полем, то элементы F[X]/(Xn) либо нильпотентны, либо обратимы. (Двойные числа над F соответствуют случаю n = 2.) Непустые факторкольца локальных колец являются локальными. Кольцо рациональных чисел с нечетным знаменателем является локальным; его максимальный идеал состоит из дробей с четным числителем и нечетным знаменателем. Это кольцо целых чисел, локализованное по 2. В более общем случае, для любого коммутативного кольца R и любого простого идеала P в R, локализация R по P является локальной; максимальный идеал – это идеал, порожденный P в этой локализации, то есть максимальный идеал состоит из всех элементов a/s, где a ∈ P и s ∈ R \ P.
More generally, a nonzero ring in which every element is either a unit or nilpotent is a local ring. An important class of local rings are discrete valuation rings, which are local principal ideal domains that are not fields. The ring , whose elements are infinite series where multiplications are given by such that , is local. Its unique maximal ideal consists of all elements that are not invertible. In other words, it consists of all elements with constant term zero. More generally, every ring of formal power series over a local ring is local; the maximal ideal consists of those power series with constant term in the maximal ideal of the base ring. Similarly, the algebra of dual numbers over any field is local. More generally, if F is a local ring and n is a positive integer, then the quotient ring F[X]/(Xn) is local with maximal ideal consisting of the classes of polynomials with constant term belonging to the maximal ideal of F, since one can use a geometric series to invert all other polynomials modulo Xn. If F is a field, then elements of F[X]/(Xn) are either nilpotent or invertible. (The dual numbers over F correspond to the case 1=n = 2.) Nonzero quotient rings of local rings are local. The ring of rational numbers with odd denominator is local; its maximal ideal consists of the fractions with even numerator and odd denominator. It is the integers localized at 2. More generally, given any commutative ring R and any prime ideal P of R, the localization of R at P is local; the maximal ideal is the ideal generated by P in this localization; that is, the maximal ideal consists of all elements a/s with a ∈ P and s ∈ R P.
Непримеры
Кольцо многочленов над полем не является локальным, поскольку x и y не являются обратимыми элементами, но их сумма обратима. Кольцо целых чисел не является локальным, поскольку для каждого простого числа p и q, где p и q – различные простые числа, оно имеет максимальный идеал (pq). И (p), и (q) являются максимальными идеалами.
Кольцо микробов
Для мотивации названия "локальные" для этих колец, мы рассматриваем вещественнозначные непрерывные функции, определенные на некотором открытом интервале вокруг 0 на вещественной прямой. Нас интересует только поведение этих функций вблизи 0 (их "локальное поведение"), и поэтому мы будем отождествлять две функции, если они совпадают на некотором (возможно, очень малом) открытом интервале вокруг 0. Эта идентификация определяет отношение эквивалентности, а классы эквивалентности называются "зародышами вещественнозначных непрерывных функций в точке 0". Эти зародыши можно складывать и перемножать, и они образуют коммутативное кольцо. Чтобы показать, что это кольцо зародышей является локальным, нам нужно охарактеризовать его обратимые элементы. Зародыш f обратим тогда и только тогда, когда f(0) ≠ 0. Причина в том, что если f(0) ≠ 0, то по непрерывности существует открытый интервал вокруг 0, где f не равна нулю, и мы можем определить функцию g(x) = 1/f(x) на этом интервале. Функция g порождает зародыш, а произведение fg равно 1. (И наоборот, если f обратима, то существует такая g, что f(0)g(0) = 1, следовательно, f(0) ≠ 0.) С этой характеристикой становится ясно, что сумма любых двух необратимых зародышей снова необратима, и мы получаем коммутативное локальное кольцо. Максимальный идеал этого кольца состоит ровно из тех зародышей f, для которых f(0) = 0. Абсолютно те же аргументы применимы к кольцу зародышей непрерывных вещественнозначных функций на любом топологическом пространстве в заданной точке, к кольцу зародышей дифференцируемых функций на любом дифференцируемом многообразии в заданной точке, или к кольцу зародышей рациональных функций на любом алгебраическом многообразии в заданной точке. Все эти кольца, следовательно, локальны. Эти примеры помогают объяснить, почему схемы, являющиеся обобщениями многообразий, определяются как специальные локальнокольцевые пространства.
Некоммутативный
Некоммутативные локальные кольца возникают естественным образом как кольца эндоморфизмов при изучении прямых сумм разложений модулей над некоторыми другими кольцами. В частности, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M неразложимо; и наоборот, если модуль M имеет конечную длину и является неразложимым, то его кольцо эндоморфизмов локально. Если k – поле характеристики p > 0 и G – конечная p-группа, то групповая алгебра kG является локальной.
Коммутативный случай
Мы также записываем (R, m) для коммутативного локального кольца R с максимальным идеалом m. Каждое такое кольцо становится топологическим кольцом естественным образом, если взять степени m как базис окрестностей нуля. Это m-адическая топология на R. Если (R, m) является коммутативным нётеровым локальным кольцом, то (теорема Крулла об пересечениях), и следует, что R с m-адической топологией является пространством Хаусдорфа. Теорема является следствием леммы Артина-Риса вместе с леммой Накаямы, и, следовательно, предположение о нётеровости имеет решающее значение. Действительно, пусть R будет кольцом зародышей бесконечно дифференцируемых функций в точке 0 на вещественной прямой, а m — максимальным идеалом. Тогда ненулевая функция принадлежит m^n для любого n, поскольку эта функция, делённая на m^n, остаётся гладкой. Как и для любого топологического кольца, можно спросить, является ли (R, m) полным (как равномерное пространство); если нет, то рассматривают его завершение, которое также является локальным кольцом. Полные нётеровы локальные кольца классифицируются теоремой о структуре Коэна. В алгебраической геометрии, особенно когда R является локальным кольцом схемы в некоторой точке P, R / m называется остаточным полем локального кольца или остаточным полем точки P.
(Krull's intersection theorem), and it follows that R with the m adic topology is a Hausdorff space. The theorem is a consequence of the Artin–Rees lemma together with Nakayama's lemma, and, as such, the "Noetherian" assumption is crucial. Indeed, let R be the ring of germs of infinitely differentiable functions at 0 in the real line and m be the maximal ideal Then a nonzero function belongs to for any n, since that function divided by is still smooth. As for any topological ring, one can ask whether (R, m) is complete (as a uniform space); if it is not, one considers its completion, again a local ring. Complete Noetherian local rings are classified by the Cohen structure theorem. In algebraic geometry, especially when R is the local ring of a scheme at some point P, R / m is called the residue field of the local ring or residue field of the point P.
If (R, m) and (S, n) are local rings, then a local ring homomorphism from R to S is a ring homomorphism f : R → S with the property f(m) ⊆ n. These are precisely the ring homomorphisms that are continuous with respect to the given topologies on R and S. For example, consider the ring morphism sending The preimage of is Another example of a local ring morphism is given by .
Если (R, m) и (S, n) — локальные кольца, то локальный гомоморфизм кольца из R в S — это гомоморфизм кольца f : R → S с условием f(m) ⊆ n. Это ровно те гомоморфизмы колец, которые непрерывны относительно заданных топологий на R и S. Например, рассмотрим кольцевой морфизм, отображающий. Прообраз равен. Другой пример локального гомоморфизма кольца задаётся выражением.
(Krull's intersection theorem), and it follows that R with the m adic topology is a Hausdorff space. The theorem is a consequence of the Artin–Rees lemma together with Nakayama's lemma, and, as such, the "Noetherian" assumption is crucial. Indeed, let R be the ring of germs of infinitely differentiable functions at 0 in the real line and m be the maximal ideal Then a nonzero function belongs to for any n, since that function divided by is still smooth. As for any topological ring, one can ask whether (R, m) is complete (as a uniform space); if it is not, one considers its completion, again a local ring. Complete Noetherian local rings are classified by the Cohen structure theorem. In algebraic geometry, especially when R is the local ring of a scheme at some point P, R / m is called the residue field of the local ring or residue field of the point P.
If (R, m) and (S, n) are local rings, then a local ring homomorphism from R to S is a ring homomorphism f : R → S with the property f(m) ⊆ n. These are precisely the ring homomorphisms that are continuous with respect to the given topologies on R and S. For example, consider the ring morphism sending The preimage of is Another example of a local ring morphism is given by .