Введение

Мера совместной изменчивости – степень, в которой случайные величины изменяются схожим образом.

Ковариация в теории вероятностей и статистике является мерой совместной изменчивости двух случайных величин. Таким образом, знак ковариации показывает тенденцию в линейной зависимости между величинами. Если большим значениям одной переменной преимущественно соответствуют большие значения другой переменной, и то же справедливо для меньших значений (то есть переменные склонны демонстрировать похожее поведение), то ковариация положительна. В обратном случае, когда большим значениям одной переменной преимущественно соответствуют меньшие значения другой (то есть переменные склонны демонстрировать противоположное поведение), ковариация отрицательна. Величина ковариации равна геометрическому среднему дисперсий, общих для двух случайных величин. Коэффициент корреляции нормализует ковариацию, деля её на геометрическое среднее общих дисперсий для двух случайных величин. Необходимо различать (1) ковариацию двух случайных величин, которая является параметром генеральной совокупности и может рассматриваться как свойство совместного распределения вероятностей, и (2) выборочную ковариацию, которая, помимо описания выборки, служит также оценкой параметра генеральной совокупности.

Несоответствие и независимость

Случайные переменные, ковариация которых равна нулю, называются некоррелированными. Это следует из того, что при независимости,

обратное, однако, не является в общем случае верным. Например, пусть X равномерно распределена на [-1, 1], а пусть Y = X². Очевидно, X и Y не являются независимыми, но

в этом случае связь между X и Y нелинейная, в то время как корреляция и ковариация являются мерами линейной зависимости между двумя случайными переменными. Этот пример показывает, что если две случайные переменные некоррелированы, это не означает, что они независимы. Однако, если две переменные совместно нормально распределены (но не если они просто индивидуально нормально распределены), некоррелированность подразумевает независимость. Переменные X и Y, чья ковариация положительна, называются положительно коррелированными, что подразумевает, если X возрастает, то Y, вероятно, тоже возрастет. И наоборот, X и Y с отрицательной ковариацией отрицательно коррелированы, и если X возрастает, то Y, вероятно, уменьшится.

Матрица кросс-ковариантности реальных случайных векторов

Для вещественных случайных векторов **x** и **y**, матрица взаимной ковариации равна. В этом случае следует отдавать предпочтение численно устойчивым алгоритмам.

Комментарии

Ковариация иногда называется мерой "линейной взаимосвязи" между двумя случайными величинами. Это не следует понимать в том же смысле, что и в контексте линейной алгебры (см. линейную зависимость). При нормализации ковариации получается коэффициент корреляции Пирсона, который показывает, насколько хорошо наилучшая линейная функция описывает взаимосвязь между переменными. В этом смысле ковариация является линейным индикатором зависимости.

В генетике и молекулярной биологии

Ковариация – важная мера в биологии. Определенные последовательности ДНК консервативны в большей степени, чем другие, у разных видов, и поэтому для изучения вторичной и третичной структур белков или структур РНК последовательности сравниваются у близкородственных видов. Если в некодирующей РНК (например, микроРНК) обнаруживаются изменения последовательности или их отсутствие, то последовательности оказываются необходимыми для общих структурных мотивов, таких как петля РНК. В генетике ковариация является основой для вычисления матрицы генетического родства (GRM), также известной как матрица сродства, что позволяет делать выводы о структуре популяции на основе выборки без известных близких родственников, а также оценивать наследуемость сложных признаков. В теории эволюции и естественного отбора уравнение цены описывает изменение частоты генетического признака во времени. Уравнение использует ковариацию между признаком и приспособленностью, чтобы дать математическое описание эволюции и естественного отбора. Это позволяет понять, как передача генов и естественный отбор влияют на пропорцию генов в каждом новом поколении популяции.

В финансовой экономике

Ковариации играют ключевую роль в финансовой экономике, особенно в современной теории портфеля и в модели ценообразования капитальных активов. Ковариации доходностей различных активов используются для определения, при определенных допущениях, оптимального соотношения различных активов, которые инвесторы должны (в нормативном анализе) или, по прогнозам, (в позитивном анализе) выбирать для включения в диверсифицированный портфель.

В ассимиляции метеорологических и океанографических данных

Матрица ковариаций важна для оценки начальных условий, необходимых для запуска моделей прогноза погоды, процедуры, известной как ассимиляция данных. "Матрица ковариаций ошибок прогноза" обычно строится на основе возмущений относительно среднего состояния (будь то климатологическое или среднее ансамблевое). "Матрица ковариаций ошибок наблюдений" строится для представления величины комбинированных ошибок наблюдений (на главной диагонали) и коррелированных ошибок между измерениями (вне главной диагонали). Это пример её широкого применения в фильтрации Калмана и более общей оценке состояния для систем, изменяющихся во времени.

В микрометеорологии

Метод ковариации вихрей является ключевым методом измерений в атмосфере, в котором ковариация между мгновенными отклонениями вертикальной скорости ветра от среднего значения и мгновенными отклонениями концентрации газа служит основой для вычисления вертикальных турбулентных потоков.

В обработке сигналов

Матрица ковариаций используется для описания спектральной изменчивости сигнала.

В статистике и обработке изображений

Матрица ковариаций используется в анализе главных компонент для снижения размерности признаков при предварительной обработке данных.