Введение
В математике, градационная алгебра Ли - это алгебра Ли, наделенная градацией, которая совместима с скобкой Ли. Другими словами, градационная алгебра Ли - это алгебра Ли, которая также является неасоциированной градационной алгеброй под операцией скобки. Выбор картанского разложения наделяет любую полупростую алгебру Ли структурой градационной алгебры Ли. Любая параболическая алгебра Ли также является степенной алгеброй Ли. Степенная супералгебра Ли расширяет понятие стержневой алгебры Ли таким образом, что скобки Ли больше не считаются обязательно антикоммутативными. Они возникают в исследовании производных по степенным алгебрам, в теории деформации Мюррея Герстенхабера, Кунихико Кодайры и Дональда С. Спенсера и в теории производных Лей. Супералгебра Ли сверхразрядной является дальнейшим обобщением этого понятия в категорию супералгебр, в которой супералгебра Ли сверхразрядной наделена дополнительной суперградацией. Они возникают, когда человек формирует классическую (не суперсимметричную) суперальгебру Лей, а затем тензорирует, чтобы получить суперсимметричный аналог. Еще более широкие обобщения возможны для алгебры Ли по классу сплетённых моноидальных категорий, оснащенных сопродуктами и некоторой концепцией градации, совместимой с сплетением в категории. Подсказки в этом направлении см. Супералгебра Лай#Теоретическое определение категории.
Алгебра свободной лжи
Свободная алгебра Лей на множестве X, естественно, имеет классификацию, данную минимальным количеством терминов, необходимых для генерации элемента группы. Это возникает, например, как ассоциированная градационная алгебра Ли к нижней центральной серии свободной группы.
Обобщения
Если любая коммутативная моноида, то понятие градационной алгебры Ли обобщает понятие обычной ( ) градационной алгебры Ли, так что определяющие отношения сохраняются с целыми числами, замененными на В частности, любая полупростая алгебра Ли градацируется корневыми пространствами ее примыкающего представления.