Введение
В математике, в теории интегрируемых систем, пара Лакса - это пара зависимых от времени матриц или операторов, которые удовлетворяют соответствующему дифференциальному уравнению, называемому уравнением Лакса. Парами лакс был введен Питер Лакс для обсуждения солитонов в непрерывных средах. Для решения таких систем используются уравнения Лакса.
Через основные инварианты
Результат также может быть показан с использованием инвариантов для любого из них, удовлетворяющих уравнению Лакса, и поскольку характерный полином может быть написан с точки зрения этих следов, спектр сохраняется потоком.
due to the Lax equation, and since the characteristic polynomial can be written in terms of these traces, the spectrum is preserved by the flow.
Представление нулевой кривизны
Любая ПДЭ, которая допускает представление пары Lax, также допускает представление нулевой кривизны. На самом деле, представление нулевой кривизны более общее и для других интегрируемых PDEs, таких как уравнение синуса Гордона, пара Лакса относится к матрицам, которые удовлетворяют уравнению нулевой кривизны, а не уравнению Лакса. Кроме того, представление нулевой кривизны делает связь между интегральными системами и геометрией явным, что завершилось программой Уорда по формулированию известных интегральных систем в качестве решений уравнений антисамодуального Янг-Миллса (ASDYM).
Уравнение нулевой кривизны
Уравнения нулевой кривизны описываются парой функций, оцененных матрицей, где подчеркивания обозначают скоординированные индексы, а не производные. Часто зависимость происходит через одну скалярную функцию и ее производные. Уравнение нулевой кривизны называется так, поскольку оно соответствует исчезновению тензора кривизны, который в этом случае отличается от обычного выражения некоторыми знаками минуса, которые в конечном итоге не имеют значения.
It is so called as it corresponds to the vanishing of the curvature tensor, which in this case is This differs from the conventional expression by some minus signs, which are ultimately unimportant.
Ковалевская вершина
В предыдущем примере использовалось бесконечное пространство Гильберта. Примеры также возможны с конечными пространствами Гильберта. Это ковалевская вершина и генерализация , включающая электрическое поле .