Введение

В математической логике, иерархия Бореля - это стратификация Борелевской алгебры, генерируемая открытыми подмножествами полякского пространства; элементы этой алгебры называются множествами Бореля. Каждому множеству Бореля присваивается уникальное подсчитываемое порядковое число, называемое рангом множества Бореля. Иерархия Бореля представляет особый интерес в описательной теории множеств. Одно из распространенных применений иерархии Бореля - доказать факты о множествах Бореля с помощью трансфинитной индукции на ранге. Свойства множеств с маленькими конечными порядками важны в теории мер и анализе.

Борельские наборы

Борельская алгебра в произвольном топологическом пространстве - это наименьшая коллекция подмножеств пространства, которая содержит открытые множества и закрыта под подсчитываемыми союзами и дополнением. Можно показать, что алгебра Бореля закрыта и при пересечениях, которые можно сосчитать. Краткое доказательство того, что алгебра Бореля хорошо определена, показывает, что весь набор сил пространства закрыт под дополнениями и считываемыми союзами, и таким образом алгебра Бореля является пересечением всех семей подмножеств пространства, которые имеют эти свойства закрытия. Это доказательство не дает простой процедуры определения того, является ли множество Борелем. Мотивация для иерархии Бореля заключается в том, чтобы обеспечить более ясную характеристику множеств Бореля.

Борель мелкого ранга

Классы малого ранга известны под альтернативными названиями в классической описательной теории множеств. Сюжетные линии - это открытые линии. Набор - это закрытый набор. Множества являются совокупностями замкнутых множеств, и называются множествами Fσ. Множества являются двойным классом и могут быть записаны как пересечение открытых множеств. Эти множества называются множествами Gδ.

Иерархия световых линий

Иерархия Borel lightface (также называемая эффективной иерархией Borelpp.163 164) является эффективной версией иерархии Borel boldface. Это важно в эффективной описательной теории множеств и теории рекурсии. Иерархия Borel lightface расширяет арифметическую иерархию подмножеств эффективного польского пространства. Она тесно связана с гиперарифметической иерархией. Иерархия Borel lightface может быть определена на любом эффективном польском пространстве. Он состоит из классов, и для каждого нулевого подсчитываемого порядкового числа меньше, чем порядковый номер Church Kleene каждый класс состоит из подмножеств пространства. Классы и коды элементов классов индуктивно определяются следующим образом: множество есть, если и только если оно эффективно открыто, то есть открытое множество, которое является объединением вычислимо исчисляемой последовательности основных открытых множеств. Кодом для такого множества является пара (0,e), где e - индекс программы, перечисляющей последовательность основных открытых множеств. Множество есть множество, если и только если его комплемент является кодом для одного из этих множеств, то есть парой (1,c), где c - это код для комплементарного множества. Множество - это если существует вычислимо перечисляемая последовательность кодов для последовательности множеств, так что каждый из них является для некоторых, а код множества - это пара (2,e), где e - индекс программы, перечисляющей коды последовательности. Код для множества Borel lightface дает полную информацию о том, как восстановить множество из множеств меньшего ранга. Это контрастирует с жидкой иерархией, где такая эффективность не требуется. Каждый набор Borel lightface имеет бесконечно много различных кодов. Возможны и другие системы кодирования; ключевая идея заключается в том, что код должен эффективно различать эффективно открытые множества, дополнения множеств, представленных предыдущими кодами, и вычислимые перечисления последовательностей кодов. Можно показать, что для каждого есть множества в , и таким образом иерархия не разрушается. Новые декорации на сцене не будут добавлены. Известная теорема Спектора и Клине гласит, что множество находится в иерархии Бореля светового поля, если и только если оно находится на уровне аналитической иерархии. Эти множества также называются гиперарифметическими. Кроме того, для всех натуральных чисел классы и эффективной Борельской иерархии одинаковы с классами и арифметической иерархии того же имени. p.168 Код набора Borel A может быть использован для индуктивного определения дерева, чьи узлы обозначены кодами. Корень дерева обозначен кодом для А. Если узел обозначен кодом формы (1,c), то у него есть дочерний узел, код которого c. Если узел обозначен кодом формы (2,e), то у него есть один ребенок для каждого кода, перечисленного программой с индексом e. Если узел обозначен кодом формы (0,e), то у него нет детей. Это дерево описывает, как A построен из множеств меньшего ранга. Порядковые числа, используемые в построении A, гарантируют, что это дерево не имеет бесконечного пути, потому что любой бесконечный путь через дерево должен включать бесконечно много кодов, начинающихся с 2, и, таким образом, дает бесконечную убывающую последовательность порядковых чисел. И наоборот, если произвольное поддело of имеет свои узлы, обозначенные кодами последовательным образом, и дерево не имеет бесконечных путей, то код в корне дерева является кодом для набора Borel lightface. Ранг этого множества ограничен типом порядка дерева в порядке Клине Брауэра. Поскольку дерево арифметически определяется, этот ранг должен быть меньше, чем Это является источником порядкового числа ChurchKleene в определении иерархии световых линий.