Введение
Специальный вид категории с "двойственными объектами" В теории категорий, ветви математики, компактные закрытые категории являются общим контекстом для лечения двойственных объектов. Идея двойного объекта обобщает более знакомое понятие двойного конечного пространства векторов. Таким образом, мотивирующим примером компактной закрытой категории является FdVect, категория, имеющая конечные размерные векторные пространства в качестве объектов и линейные карты в качестве морфизмов, с тензорным произведением в качестве моноидной структуры. Другим примером является Rel, категория, имеющая множества как объекты и отношения как морфизмы, с картезианской моноидной структурой.
In category theory, a branch of mathematics, compact closed categories are a general context for treating dual objects. The idea of a dual object generalizes the more familiar concept of the dual of a finite dimensional vector space. So, the motivating example of a compact closed category is FdVect, the category having finite dimensional vector spaces as objects and linear maps as morphisms, with tensor product as the monoidal structure. Another example is Rel, the category having sets as objects and relations as morphisms, with Cartesian monoidal structure.
Свойства
Компактные закрытые категории являются особым случаем моноидальных закрытых категорий, которые, в свою очередь, являются особым случаем закрытых категорий. Компактные закрытые категории - это именно симметричные автономные категории. Они также * автономны. Каждый компактный закрытый автомобиль категории С допускает следы. Именно, для каждого морфизма , можно определить, который может быть показан как правильный след. Это помогает нарисовать это диаграмматически:
which can be shown to be a proper trace. It helps to draw this diagrammatically:
Примеры
Каноническим примером является категория FdVect с конечными размерными векторными пространствами как объектами и линейными картами как морфизмами. Здесь обычная двойная векторная категория пространства, в которой представления любой группы в конечных измерениях также компактны и закрыты. Категория Vect, с всеми векторными пространствами как объектами и линейными картами как морфизмами, не является компактно закрытой; это симметричная моноидальная закрытая.
The category of finite dimensional representations of any group is also compact closed. The category Vect, with all vector spaces as objects and linear maps as morphisms, is not compact closed; it is symmetric monoidal closed.
Категория компактных кинжалов
Симметричная моноидальная категория кинжала, которая является компактной закрытой, является компактной категорией кинжала.
Категория "жесткий"
Моноидальная категория, которая не является симметричной, но в остальном подчиняется вышеуказанным аксиомам дуальности, известна как жесткая категория. Моноидальная категория, в которой каждый объект имеет левую (отвечающую) сторону. Правый) двойной также иногда называют левым (отвечает). (справа) автономная категория. Моноидальную категорию, в которой каждый объект имеет как левую, так и правую двойную, иногда называют автономной категорией. Автономная категория, которая также симметрична, является компактной закрытой категорией.