Введение
В математике, в области функционального анализа, пространство неопределенного внутреннего продукта - это бесконечномерное комплексное векторное пространство, оснащенное как неопределенным внутренним продуктом, так и положительным полуопределенным внутренним продуктом, где метрический оператор является эндоморфизмом подчиняющегося. Само пространство неопределенного внутреннего продукта не обязательно является пространством Гильберта; но существование положительного полуопределенного внутреннего продукта на предполагает, что можно сформировать пространство-квозиент, на котором есть положительный определенный внутренний продукт. При достаточно сильной топологии на этом пространстве-доля, оно имеет структуру пространства Гильберта, и многие объекты, представляющие интерес в типичных приложениях, попадают в это пространство-доля. Неопределенное пространство внутреннего продукта называется пространством Крейна (или пространством), если оно положительно определено и обладает мажорантной топологией. Пространства Крейна названы в честь советского математика Марка Григорьевича Крейна (3 апреля 1907 - 17 октября 1989).
is an infinite dimensional complex vector space equipped with both an indefinite inner product
and a positive semi definite inner product
where the metric operator is an endomorphism of obeying
The indefinite inner product space itself is not necessarily a Hilbert space; but the existence of a positive semi definite inner product on implies that one can form a quotient space on which there is a positive definite inner product. Given a strong enough topology on this quotient space, it has the structure of a Hilbert space, and many objects of interest in typical applications fall into this quotient space. An indefinite inner product space is called a Krein space (or space) if is positive definite and possesses a majorant topology. Krein spaces are named in honor of the Soviet mathematician Mark Grigorievich Krein (3 April 1907 – 17 October 1989).
Свойства и применения
Пространства Крейна возникают естественным образом в ситуациях, когда неопределенное внутреннее произведение имеет аналитически полезное свойство (например, инвариантность Лоренца), которого не имеет внутреннее произведение Гильберта. Также часто бывает, что один из двух внутренних продуктов, обычно неопределенный, определяется глобально на многообразии, а другой зависит от координат и, следовательно, определяется только на локальном участке. Во многих случаях положительный полуопределенный внутренний продукт зависит от выбранного фундаментального разложения, которое, как правило, не является уникальным. Но это может быть продемонстрировано (например, см. Предложение 1.1 и 1.2 в статье Х. Лангера ниже) что любые два метрических оператора и совместимы с тем же неопределенным внутренним произведением в результате в гильбертовых пространствах и чьи разложения и имеют одинаковые размеры. Хотя внутренние произведения Гильберта на этих пространствах-долях обычно не совпадают, они вызывают идентичные квадратные нормы, в том смысле, что квадратные нормы классов эквивалентности и в которые вводятся, если они равны. Все топологические понятия в пространстве Крейна, такие как непрерывность, замкнутость множеств и спектр оператора на , понимаются в отношении этой топологии пространства Гильберта.
Изотропная часть и вырожденные подпространства
Пусть , , будет подпространством для всех называется ортогональным спутником , и является изотропной частью If , называется не дегенерированным; в противном случае это дегенерированное. Если для всех , то два подпространства orthogonal, и мы пишем Если где , мы пишем Если, кроме того, это прямая сумма, мы пишем .
Понтриагинское пространство
Если , то пространство Крейна называется пространством Понтрагина или пространством. (Конвенционно, неопределенному внутреннему произведению дается знак, который делает конечным.) В этом случае известно, что число положительных квадратов Понтрагинских пространств названо в честь Льва Семеновича Понтрагина.
Оператор Pesonen
Симметричный оператор A на неопределенном пространстве внутреннего продукта K с доменом K называется оператором Пезонена, если (x,x) = 0 = (x,Ax) подразумевает x = 0.