Введение

В математике вектор Витта - это бесконечная последовательность элементов коммутативного кольца. Эрнст Витт показал, как поставить кольцевую структуру на множество векторов Витта, таким образом, что кольцо векторов Витта над конечным полем порядка изоморфно с , кольцом адических целых чисел. На первый взгляд, их структура кажется неинтуитивной, потому что их аддитивная и умножающая структура зависит от бесконечного множества рекурсивных формул, которые не ведут себя как формулы сложения и умножения для стандартных пятидесятичисленных целых чисел. Основная идея Это вдохновило их спросить, какие другие поля имеют конечные абсолютные группы Галуа. В процессе доказательства того, что других подобных полей не существует, они доказали, что степень расширения поля характеристики такая же, как разделение полей полиномов Артина-Шрайера. Они по определению формы, повторяя свою конструкцию, описывают степень расширения. Авраам Адриан Альберт использовал эту идею, чтобы описать расширение степени. Каждое повторение влечет за собой сложные алгебраические условия, чтобы обеспечить нормальное расширение поля. Шмид обобщил далее до некоммутативных циклических алгебр степени. В процессе этого появились определенные полиномы, связанные с сложением адик целых чисел. Витт схватился за эти многочлены. Систематически используя их, он смог дать простые и единые конструкции расширений степеней поля и циклических алгебр. В частности, он представил кольцо, теперь называемое , кольцо сокращенных типичных векторов Витта. Это кольцо имеет в качестве доля, и оно поставляется с оператором, который называется оператором Фробена, потому что он сводится к оператору Фробена на Витт замечает, что степень аналога ArtinSchreier многочленов, где Для завершения аналогии с теорией Куммера, определять, чтобы быть оператором Тогда степень расширений в биективной соответствия с циклическими подгруппами порядка , где соответствует поле.

Мотивация

Любое адическое целое число (элемент , не путать с) может быть записано как ряд степеней , где они обычно берутся из интервала целых чисел. Трудно обеспечить алгебраическое выражение для сложения и умножения, используя это представление, поскольку мы сталкиваемся с проблемой переноса между цифрами. Однако, принимая репрезентативные коэффициенты является только одним из многих вариантов, и сам Хенсель (создатель адик числа) предложил корни единства в области как представители. Эти представители, следовательно, являются числом вместе с корнями единства; то есть решениями in , так что этот выбор естественно распространяется на кольцевые расширения in, в которых поле остатков увеличено до с , некоторой степени . Действительно, именно эти поля (поля дроблений колец) мотивировали выбор Хенселя. Теперь представители - это решения в поле для вызова поля , с соответствующим примитивным корнем единства (выше). Представители then и for, поскольку эти представители образуют множество множественного числа, могут рассматриваться как символы. Спустя тридцать лет после работ Хенселя Тейхмюллер изучил эти символы, которые теперь носят его имя, и это привело его к характеристике структуры всего поля с точки зрения поля остатков. Эти представители Тейхмуллера могут быть идентифицированы с элементами конечного поля порядка, принимая остатки модуля в , и элементы в принимаются к их представителям по символу Тейхмуллера Эта операция идентифицирует множество целых чисел в с бесконечными последовательностями элементов в Принимая эти представители выражения для сложения и умножения могут быть написаны в закрытой форме. Теперь у нас есть следующая задача (заявлена для самого простого случая: ): при двух бесконечных последовательностях элементов опишите их сумму и произведение как adic целые числа явно. Эта проблема была решена Виттом с использованием векторов Витта.

Представление элементов в Fp как элементов в кольце векторов Витта W ((Fp)

Существует лучшее подмножество коэффициентов, которое дает закрытые формулы, представители Тейхмюллера: ноль вместе с корнями единства. Они могут быть явно рассчитаны (в терминах первоначальных представителей коэффициента) как корни через подъем Хенселя, адической версии метода Ньютона. Например, для вычисления представителя in начинается с нахождения уникального решения in с ; получается Повторяя это в условиях и , дает и так далее; полученный представитель Teichmüller , обозначается , является последовательностью Существование лифта в каждом шаге гарантируется наибольшим общим делителем в каждом Этот алгоритм показывает, что для каждого , есть точно один представитель Teichmüller с , который мы обозначаем Действительно, это определяет характер Teichmüller как (множительный) групповой гомоморфизм, который, кроме того, удовлетворяет, если мы дадим обозначить каноническую проекцию. Однако обратите внимание, что это не является добавлением, так как сумма не должна быть репрезентативной. Несмотря на это, если в то время в

Примеры сложения и умножения

Как и следовало ожидать, единицей в кольце векторов Витта является элемент Добавление этого элемента к самому себе дает нетривиальную последовательность, например, в ,since, которая не является ожидаемым поведением, так как она не равна Но, когда мы уменьшаем с картой , мы получаем примечание, если у нас есть элемент и элемент, то умножение также ведет себя очень нетривиально.

Примеры

Кольцо Витта любого коммутативного кольца, в котором есть инвертируемое, просто изоморфно (произведение считываемого числа копий). На самом деле полиномы Витта всегда дают гомоморфизм от кольца векторов Витта до , и если он обратим, то этот гомоморфизм является изоморфизмом. Кольцо Витта конечного поля порядка - это кольцо адических целых чисел, записанных в терминах представителей Тейхмюллера, как показано выше. Кольцо Витта конечного поля порядка - это кольцо целых чисел уникального неразветвленного расширения степени кольца адических чисел. Обратите внимание на th корень единства, следовательно .

Функции генерации

Витт также предложил другой подход с использованием генерирующих функций.

Схемы кольца

Карта, принимающая коммутативное кольцо к кольцу векторов Витта (для фиксированного простых числа) является функтором от коммутативных колец к коммутативным колецам, а также представляется, поэтому его можно рассматривать как схему колец, называемую схемой Витта, по схеме Витта может быть канонически идентифицирована с спектром кольца симметричных функций. Аналогичным образом, кольца укороченных векторов Витта и кольца универсальных векторов Витта соответствуют схемам кольца, называемым укороченными схемами Витта и универсальной схемой Витта. Кроме того, функтор, принимающий коммутативное кольцо в множество, представлен аффинным пространством , а кольцевая структура на образует схему колец, обозначаемую Из построения укороченных векторов Витта следует, что их связанная схема колец является схемой с уникальной кольцевой структурой, так что морфизм, данный полиномиями Витта, является морфизмом кольцевых схем.

Коммутативные однопотентные алгебраические группы

Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, любая однопотентная абелева связанная алгебраическая группа изоморфна произведению копий аддитивной группы. Аналог этого для полей характеристики ложный: сокращенные схемы Витта являются контрпримеры. (Мы делаем их алгебраическими группами, забывая о умножении и используя только аддитивную структуру.) Однако, это по существу единственные контрпримеры: над алгебраически замкнутым полем характеристики , любая однопотентная абелева связанная алгебраическая группа является изогенной для продукта сокращенных схем групп Витта.

Вводные

Заметки о векторах Витта: мотивированный подход Основные заметки, дающие основные идеи и интуицию. Лучше всего начать здесь! Теория векторов Витта Элементарное введение в теорию. Complexe de de Rham Witt et cohomologie cristalline Примечание: он использует другую, но эквивалентную конвенцию, как в этой статье. Кроме того, основные мысли из введения все еще важны.

Приложения

Раздел II.6