Введение
Алгебраический термин группы Витта в теории алгебраических групп В математике группа Витта поля, названная в честь Эрнста Витта, является абелевой группой, элементы которой представлены симметричными билинейными формами над полем.
Witt groups in the theory of algebraic groups
In mathematics, a Witt group of a field, named after Ernst Witt, is an abelian group whose elements are represented by symmetric bilinear forms over the field.
Определение
Определите поле k характеристики не равным 2. Все векторные пространства будут считаться конечными. Мы говорим, что два пространства, снабженные симметричными двулинейными формами, эквивалентны, если одно из них можно получить от другого путем добавления метаболического квадратного пространства, то есть нулевой или более копий гиперболической плоскости, не дегенерированной двумерной симметричной двулинейной формы с вектором нормы 0. Каждый класс представлен основной формой разложения Витта. Группа Витта k - абелева группа W ((k) классов эквивалентности не дегенерированных симметричных двулинейных форм, при этом групповая операция соответствует ортогональной прямой сумме форм. Он создается аддитивно классами одномерных форм. Хотя классы могут содержать пространства разных размеров, паритет измерений является постоянным для всего класса, и поэтому rk : W(k) → Z/2Z является гомоморфизмом. подгруппа торсионных является ядром функциональной карты от W(k) до W(kpy), где kpy является пифагорейским закрытием k; он генерируется формами Pfister с ненулевой суммой квадратов. Если k не формально действителен, то группа Витта - это кручение, с показателем a в степени 2.
Инварианты
Некоторые инварианты квадратной формы могут рассматриваться как функции на классах Витта. Мы видели, что измерение mod 2 является функцией по классам: дискриминант также хорошо определен. Инвариант Хасса квадратной формы опять-таки является хорошо определенной функцией на классах Витта с значениями в группе Брауера поля определения.
Ранг и дискриминация
Мы определяем кольцо над K, Q ((K), как множество пар (d, e) с d в K*/K*2 и e в Z/2Z. Добавление и умножение определяются: Затем существует сюръективный гомоморфизм кольца от W(K) к этому, полученному путем отображения класса к дискриминанту и рангу mod 2. Ядро - это I2. Элементы Q можно рассматривать как классифицирующие степень квадратных расширений K.
Then there is a surjective ring homomorphism from W(K) to this obtained by mapping a class to discriminant and rank mod 2. The kernel is I2. The elements of Q may be regarded as classifying graded quadratic extensions of K.
Группа Brauer Wall
Тройка дискриминанта, ранга mod 2 и инварианта Хассе определяет карту от W(K) до группы БрауераВолла BW(K).
Витт кольцо местного поля
Пусть K - полное локальное поле с оценкой v, унифицирующим π и остаточным полем k характеристики не равным 2. Существует инъекция W(k) → W(K), которая поднимает диагональную форму a1, an до u1, un, где ui является единицей K с изображением ai в k. Это дает возможность идентифицировать W(k) с его изображением в W(K).
identifying W(k) with its image in W(K).
Кольцо Витта и К-теория Милнора
Пусть k является поле характеристики не равным 2. Полномочия идеала I форм с четным размером ("фундаментальный идеал") в форме нисходящей фильтрации и можно рассматривать связанное со степенным кольцом, то есть прямую сумму коэффициентов. Пусть будет квадратной формой, рассматриваемой как элемент кольца Витта. Тогда является элементом I и соответственно произведением формы является элементом Джона Милнора в 1970 году в статье доказано, что отображение от к, что посылает к является многолинейным и отображает элементы Штейнберга (элементы, такие, что для некоторых и такие, что у одного есть) до нуля. Это означает, что это отображение определяет гомоморфизм от кольца Милнора k к кольцу Витта. Милнор также показал, что этот гомоморфизм посылает элементы, делимые на 2, к нулю, и что он сюръективен. В той же статье он сделал предположение, что этот гомоморфизм является изоморфизмом для всех полей k (с характеристикой, отличающейся от 2). Это стало известно как гипотеза Милнора о квадратных формах. Предположение было доказано Дмитрием Орловым, Александром Вишиком и Владимиром Воеводским в 1996 году (опубликовано в 2007 году) для случая , что привело к расширению понимания структуры квадратных форм над произвольными полями.
is an element of John Milnor in a 1970 paper proved that the mapping from to that sends to is multilinear and maps Steinberg elements (elements such that for some and such that one has ) to zero. This means that this mapping defines a homomorphism from the Milnor ring of k to the graded Witt ring. Milnor showed also that this homomorphism sends elements divisible by 2 to zero and that it is surjective. In the same paper he made a conjecture that this homomorphism is an isomorphism for all fields k (of characteristic different from 2). This became known as the Milnor conjecture on quadratic forms. The conjecture was proved by Dmitry Orlov, Alexander Vishik and Vladimir Voevodsky in 1996 (published in 2007) for the case , leading to increased understanding of the structure of quadratic forms over arbitrary fields.
Кольцо Гротендик-Витта
Кольцо Гротендика Витта (GW) - это связанная конструкция, полученная из классов изометрии несингулярных квадратных пространств с добавлением, данным ортогональной суммой, и умножением, данным тензорным произведением. Поскольку два пространства, которые отличаются гиперболической плоскостью, не идентифицированы в ГВ, обратное для сложения необходимо ввести формально через конструкцию, которая была обнаружена Гротендиком (см. Группа Гротендика). Существует естественный гомоморфизм GW → Z, данный по размерности: поле квадратно закрыто, если и только если это изоморфизм. Гиперболические пространства генерируют идеал в ГВ, а кольцо Витта W является коэффициентом. Внешняя мощность дает кольцу Гротендика Витта дополнительную структуру кольца λ.
Примеры
Кольцо Гротендика Витта C, и действительно любое алгебраически закрытое поле или квадратно закрытое поле, является Z. Элемент (1, 0) соответствует квадратической форме a, где a не является квадратом в конечном поле. Кольцо Гротендика Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, совпадающим с 1 модулем 4, изоморфно Z (Z/2Z) 3. показано, что кольцо Гротендика Витта идеального поля изоморфно мотивной стабильной гомотопической группе сфер π0,0(S0,0) (см. "Теорию гомотопии A1").
Эквивалентность Witt
Два поля считаются эквивалентными по Витту, если их кольца Витта изморфны. Для глобальных полей существует локальный к глобальному принцип: два глобальных поля эквивалентны Витту, если и только если между их местами есть биекция, так что соответствующие локальные поля эквивалентны Витту. В частности, два числовых поля K и L эквивалентны Витту, если и только если между местами K и местами L существует биекция T и групповой изоморфизм t между их квадратными группами классов, сохраняя символы Гильберта 2-й степени. В этом случае пара (T, t) называется эквивалентностью взаимности или эквивалентностью символа Гильберта 2-й степени. Некоторые вариации и расширения этого условия, такие как "укрощение степени эквивалентности символов Гильберта", также были изучены.
Обобщения
Группы Витта также могут быть определены таким же образом для симметричных форм, и для квадратных форм, и более обще ε квадратных форм, над любым * кольцом R. Полученные группы (и их обобщения) известны как четномерные симметричные L группы L2k(R) и четномерные квадратные L группы L2k(R). Квадратные L-группы имеют 4 периодических, при этом L0(R) является группой Витта (1) квадратных форм (симметричных), а L2(R) является группой Витта (−1) квадратных форм (скружно-симметричных); симметричные L-группы не имеют 4 периодических для всех колец, поэтому они обеспечивают менее точное обобщение. L-группы являются центральными объектами в теории хирургии, образуя один из трех терминов хирургической точной последовательности.
The resulting groups (and generalizations thereof) are known as the even dimensional symmetric L groups L2k(R) and even dimensional quadratic L groups L2k(R). The quadratic L groups are 4 periodic, with L0(R) being the Witt group of (1) quadratic forms (symmetric), and L2(R) being the Witt group of (−1) quadratic forms (skew symmetric); symmetric L groups are not 4 periodic for all rings, hence they provide a less exact generalization. L groups are central objects in surgery theory, forming one of the three terms of the surgery exact sequence.