Введение

Неточный дифференциал или несовершенный дифференциал - это дифференциал, интеграл которого зависит от пути. Чаще всего используется в термодинамике для выражения изменений в зависимых от пути величин, таких как тепло и работа, но в математике более широко определяется как тип дифференциальной формы. Напротив, интеграл точного дифференциала всегда независим от пути, поскольку интеграл действует инвертируя дифференциальный оператор. Следовательно, величина с неточным дифференциалом не может быть выражена как функция только переменных внутри дифференциала. То есть, его значение не может быть выведено только с помощью рассмотрения начального и конечного состояний данной системы. Неточные дифференциалы используются в основном в расчетах, связанных с теплом и работой, потому что они являются функциями пути, а не функциями состояния.

Определение

Неточный дифференциал - это дифференциал, для которого интеграл на двух путях с одинаковыми конечными точками отличается. В частности, существуют интегральные пути, такие как , и В этом случае мы обозначаем интегралы как и соответственно, чтобы сделать ясным зависимость пути от изменения величины, которую мы рассматриваем как Более обще, неточный дифференциал - это дифференциальная форма, которая не является точным дифференциалом, т.е. для всех функций , Основная теорема исчисления для линейных интегралов требует независимости пути, чтобы выразить значения данного векторного поля с точки зрения частичных производных другой функции, которая является многовариантным аналогом антидифференциала. Это связано с тем, что не может быть уникального представления антидеривативы для неточных дифференциалов, поскольку их изменение несовместимо по разным путям. Это условие независимости пути является необходимым дополнением к фундаментальной теореме исчисления, потому что в одномерном исчислении существует только один путь между двумя точками, определенными функцией.

Термодинамика

Вместо дифференциального символа d используется символ δ, который возник в XIX веке в работе немецкого математика Карла Готфрида Неймана, указывая, что Q (тепло) и W (работа) зависят от пути, а U (внутренняя энергия) - нет.

Статистическая механика

В статистической механике неточные дифференциалы часто обозначаются полосой через дифференциальный оператор đ. В LaTeX команда "\rlap{\textrm{d{\bar{\phantom{w}" является приближением или просто "\dj" для диетического символа, который нуждается в кодировании T1.

Математика

В математике неточные дифференциалы обычно называют дифференциальными формами, которые часто записываются как .

Общее расстояние

Когда вы идете от точки к точке по прямой (без изменения направления), ваше чистое смещение и общее пройденное расстояние равны длине указанной линии. Если вы затем возвращаетесь к точке (без изменения направления), то ваше чистое смещение равняется нулю, а общее пройденное расстояние равняется . Обратите внимание, что если мы позволим себе изменить направление, то мы сможем сделать шаг вперед, а затем назад в любой момент времени, и при этом увеличить общее расстояние, пройденное до произвольно большого числа, сохраняя при этом постоянное чистое смещение. Перерабатывая вышеизложенное с помощью дифференциалов и принимая, что дифференциал чистого расстояния находится вдоль оси, он является , точным дифференциалом с антидеривативной. С другой стороны, дифференциал общего расстояния - это , который не имеет антидеривативной. Путь, который мы выбрали, - это тот, где существует время, которое строго увеличивается до и строго уменьшается после. Тогда положительное до и отрицательное после, давая интегралы, именно результаты, которые мы ожидали от словесного аргумента до.

Тепло и работа

Для того чтобы разжечь огонь, нужны тепло, топливо и окислитель. Энергия, необходимая для преодоления барьера энергии активации для сгорания, передается в виде тепла в систему, что приводит к изменениям внутренней энергии системы. В процессе ввод энергии для запуска пожара может включать в себя как работу, так и тепло, например, когда кто-то втирает костре (работу) и испытывает трение (тепло), чтобы запустить огонь. Последующее сгорание является высокоэкзотермическим, что высвобождает тепло. Общее изменение внутренней энергии не показывает способ передачи энергии и количественно определяет только чистый труд и тепло. Разница между начальным и конечным состояниями внутренней энергии системы не учитывает степень возникших энергетических взаимодействий. Следовательно, внутренняя энергия является функцией состояния (т.е. точным дифференциалом), в то время как тепло и работа являются функциями пути (т.е. неточными дифференциалами), потому что интеграция должна учитывать пройденный путь.

Пример

Рассмотрим неточную дифференциальную форму, которая должна быть неточной, если рассматривать переход к точке (1,1). Если мы сначала увеличим y, а затем увеличим x, то это соответствует первой интеграции над y, а затем над x. Интеграция над y сначала вносит вклад, а затем интеграция над x вносит вклад Таким образом, по первому пути мы получаем значение 2. Однако, по второму пути мы получаем значение, которое мы можем сделать точным дифференциалом, умножив его на х, получая точный дифференциал.