Введение
В математической теории стохастических процессов, местное время - это стохастический процесс, связанный с полумартингальными процессами, такими как движение Брауна, которое характеризует количество времени, которое частица провела на заданном уровне. Локальное время появляется в различных стохастических интеграционных формулах, таких как формула Танаки, если интегранд недостаточно гладкий. Он также изучается в статистической механике в контексте случайных полей.
Теоремы Рэй-Найта
Поле местных времен, связанных со стохастическим процессом на пространстве, является хорошо изученной темой в области случайных полей. Теоремы типа RayKnight связывают поле Lt с связанным гауссовским процессом. В общем, теоремы типа RayKnight первого типа рассматривают поле Lt в момент удара основного процесса, в то время как теоремы второго типа рассматривают время остановки, в котором поле местного времени сначала превышает заданное значение.
Теорема первого Луча к Ночью
Пусть (Bt) t ≥ 0 является одномерным броуновским движением, начавшимся от B0 = a > 0, и (Wt) t≥0 является стандартным двумерным броуновским движением, начавшимся от W0 = 0 ∈ R2. Определите время остановки, в котором B впервые попадает в исход, Рэй и Найт (независимо) показали, что где (Lt) t ≥ 0 является полем местных времен (Bt) t ≥ 0, и равенство находится в распределении на C [0, a). Процесс 20x102 известен как квадратный процесс Бесселя.
where (Lt)t ≥ 0 is the field of local times of (Bt)t ≥ 0, and equality is in distribution on C[0, a]. The process |Wx|2 is known as the squared Bessel process.
Обобщенные теоремы Рэй-Найта
Результаты типа RayKnight для более общих стохастических процессов были интенсивно изучены, а аналогичные утверждения обоих известны для сильно симметричных процессов Маркова.