Цилиндрическая конформная проекция Меркатора

Введение

Цилиндрическая конформная картографическая проекция

Проекция Меркатора (/mər/'keɪtər/) — это конформная цилиндрическая картографическая проекция, представленная фламандским географом и картографом Герардусом Меркатором в 1569 году. Она стала стандартной картографической проекцией для навигации благодаря способности отображать север как «вверх», а юг как «вниз» повсюду, сохраняя при этом местные направления и формы. Однако, как следствие, проекция Меркатора искажает размеры объектов по мере удаления от экватора. На проекции Меркатора такие массивы суши, как Гренландия и Антарктида, кажутся значительно больше, чем они есть на самом деле по отношению к массивам суши вблизи экватора. Несмотря на эти недостатки, проекция Меркатора хорошо подходит для морской навигации и веб-карт в интернете и до сих пор широко используется.

История

Существует некоторая полемика относительно происхождения проекции Меркатора. Немецкий ученый-эрудит Эрхард Эцлауб выгравировал миниатюрные "карты компаса" (около 10 × 8 см) Европы и части Африки, охватывающие широты от 0° до 67°, для настройки его портативных карманных солнечных часов. Проекция, обнаруженная на этих картах, датированных 1511 годом, была названа Джоном Снайдером в 1987 году идентичной проекции Меркатора. Однако, учитывая геометрию солнечных часов, эти карты вполне могли быть основаны на аналогичной центральной цилиндрической проекции, являющейся предельным случаем гномонической проекции, которая лежит в основе солнечных часов. Снайдер изменил свою оценку на "подобную проекцию" в 1993 году. Историк Китая Джозеф Нидэм предположил, что некоторые звездные карты китайской династии Сун могли быть основаны на проекции Меркатора; однако это утверждение было представлено без доказательств, и астрономический историк Кадзухико Миядзима, используя картометрический анализ, пришел к выводу, что эти карты использовали равноугольную проекцию. Португальский математик и космограф Педро Нуньес первым описал математический принцип локсодромы и его применение в морской навигации. В 1537 году он предложил создать морской атлас, состоящий из нескольких крупномасштабных листов в равноугольной проекции, чтобы минимизировать искажение направлений. Если эти листы были приведены к одному масштабу и соединены, они бы приблизились к проекции Меркатора. В 1569 году Герхард Кремер, известный под торговым именем Gerardus Mercator, объявил о новой проекции, опубликовав большую планисферную карту, размером и напечатанную на восемнадцати отдельных листах. Меркатор назвал карту Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: "Новое и дополненное описание Земли, исправленное для использования моряками". Это название, а также подробное объяснение использования проекции, представленное в виде текстового фрагмента на карте, демонстрируют, что Меркатор точно понимал свои достижения и намеревался использовать проекцию для помощи в навигации. Меркатор никогда не объяснял метод построения или то, как он к нему пришел. За прошедшие годы было предложено множество гипотез, но в любом случае дружба Меркатора с Педро Нуньесом и его доступ к локсодромическим таблицам, созданным Нуньесом, вероятно, способствовали его усилиям. Английский математик Эдвард Райт опубликовал первые точные таблицы для построения проекции в 1599 году и, более подробно, в 1610 году, назвав свой труд "Certaine Errors in Navigation" ("Некоторые ошибки в навигации"). Первая математическая формулировка была опубликована около 1645 года математиком Генри Бондом (ок. 1600–1678). Однако математические разработки, выполненные Томасом Гарриотом начиная с 1589 года, так и не были опубликованы. Разработка проекции Меркатора стала важным прорывом в морской картографии XVI века. Однако она значительно опередила свое время, поскольку старые навигационные и геодезические методы не были совместимы с ее использованием в навигации. Две основные проблемы препятствовали ее немедленному применению: невозможность определения долготы в море с достаточной точностью и использование в навигации магнитных, а не географических направлений. Только в середине XVIII века, после изобретения морского хронометра и установления пространственного распределения магнитного склонения, проекция Меркатора могла быть полностью принята моряками. Несмотря на эти ограничения в определении местоположения, проекция Меркатора можно найти на многих картах мира в течение столетий после первой публикации Меркатора. Однако она начала доминировать на картах мира только в XIX веке, когда проблема определения местоположения была в значительной степени решена. Когда проекция Меркатора стала стандартной для коммерческих и образовательных карт, она подверглась постоянной критике со стороны картографов за несбалансированное представление континентов и неспособность полезно отображать полярные регионы. Критика, направленная против ненадлежащего использования проекции Меркатора, привела к появлению множества новых изобретений в конце XIX и начале XX века, часто прямо рекламируемых как альтернативы проекции Меркатора. Под этим давлением издатели постепенно сократили использование проекции в течение XX века. Однако появление веб-картографии дало проекции неожиданный всплеск в виде веб-меркаторской проекции. Сегодня проекцию Меркатора можно найти на морских картах, отдельных картах мира и в веб-картах, но коммерческие атласы в значительной степени отказались от нее, а настенные карты мира можно найти во многих альтернативных проекциях. Google Maps, которая использовала ее с 2005 года, по-прежнему использует ее для карт местности, но отказалась от проекции на настольных платформах в 2017 году для карт, которые отображают области, удаленные от местности. Многие другие онлайн-картографические сервисы по-прежнему исключительно используют веб-меркаторскую проекцию.

There is some controversy over the origins of the Mercator. German polymath Erhard Etzlaub engraved miniature "compass maps" (about 10×8 cm) of Europe and parts of Africa that spanned latitudes 0°–67° to allow adjustment of his portable pocket size sundials. The projection found on these maps, dating to 1511, was stated by John Snyder in 1987 to be the same projection as Mercator's. However, given the geometry of a sundial, these maps may well have been based on the similar central cylindrical projection, a limiting case of the gnomonic projection, which is the basis for a sundial. Snyder amended his assessment to "a similar projection" in 1993. Joseph Needham, a historian of China, speculated that some star charts of the Chinese Song Dynasty may have been based on the Mercator projection; however, this claim was presented without evidence, and astronomical historian Kazuhiko Miyajima concluded using cartometric analysis that these charts used an equirectangular projection instead. Portuguese mathematician and cosmographer Pedro Nunes first described the mathematical principle of the loxodrome and its use in marine navigation. In 1537, he proposed constructing a nautical atlas composed of several large scale sheets in the equirectangular projection as a way to minimize distortion of directions. If these sheets were brought to the same scale and assembled, they would approximate the Mercator projection. In 1569, Gerhard Kremer, known by his trade name Gerardus Mercator, announced a new projection by publishing a large planispheric map measuring and printed in eighteen separate sheets. Mercator titled the map Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: "A new and augmented description of Earth corrected for the use of sailors". This title, along with an elaborate explanation for using the projection that appears as a section of text on the map, shows that Mercator understood exactly what he had achieved and that he intended the projection to aid navigation. Mercator never explained the method of construction or how he arrived at it. Various hypotheses have been tendered over the years, but in any case Mercator's friendship with Pedro Nunes and his access to the loxodromic tables Nunes created likely aided his efforts. English mathematician Edward Wright published the first accurate tables for constructing the projection in 1599 and, in more detail, in 1610, calling his treatise "Certaine Errors in Navigation". The first mathematical formulation was publicized around 1645 by a mathematician named Henry Bond (c. 1600–1678). However, the mathematics involved were developed but never published by mathematician Thomas Harriot starting around 1589. The development of the Mercator projection represented a major breakthrough in the nautical cartography of the 16th century. However, it was much ahead of its time, since the old navigational and surveying techniques were not compatible with its use in navigation. Two main problems prevented its immediate application: the impossibility of determining the longitude at sea with adequate accuracy and the fact that magnetic directions, instead of geographical directions, were used in navigation. Only in the middle of the 18th century, after the marine chronometer was invented and the spatial distribution of magnetic declination was known, could the Mercator projection be fully adopted by navigators. Despite those position finding limitations, the Mercator projection can be found in many world maps in the centuries following Mercator's first publication. However, it did not begin to dominate world maps until the 19th century, when the problem of position determination had been largely solved. Once the Mercator became the usual projection for commercial and educational maps, it came under persistent criticism from cartographers for its unbalanced representation of landmasses and its inability to usefully show the polar regions. The criticisms leveled against inappropriate use of the Mercator projection resulted in a flurry of new inventions in the late 19th and early 20th century, often directly touted as alternatives to the Mercator. Due to these pressures, publishers gradually reduced their use of the projection over the course of the 20th century. However, the advent of Web mapping gave the projection an abrupt resurgence in the form of the Web Mercator projection. Today, the Mercator can be found in marine charts, occasional world maps, and Web mapping services, but commercial atlases have largely abandoned it, and wall maps of the world can be found in many alternative projections. Google Maps, which relied on it since 2005, still uses it for local area maps but dropped the projection from desktop platforms in 2017 for maps that are zoomed out of local areas. Many other online mapping services still exclusively use the Web Mercator.

Свойства

Как и во всех цилиндрических проекциях, параллели и меридианы на проекции Меркатора прямые и перпендикулярны друг другу. Для достижения этого неизбежное растяжение карты с востока на запад, которое увеличивается с удалением от экватора, в проекции Меркатора сопровождается соответствующим растяжением с севера на юг, так что в каждой точке масштаб с востока на запад равен масштабу с севера на юг, что делает её конформной картографической проекцией. Конформные проекции сохраняют углы во всех точках. Поскольку линейный масштаб карты Меркатора увеличивается с широтой, она искажает размеры географических объектов, расположенных далеко от экватора, и создает искаженное представление об общей геометрии планеты. На широтах, превышающих 70° северной или южной широты, проекция Меркатора практически неприменима, поскольку линейный масштаб становится бесконечно большим на полюсах. Следовательно, карта Меркатора никогда не может полностью отобразить полярные области (при условии, что проекция основана на цилиндре, центрированном на оси вращения Земли; см. поперечную проекцию Меркатора для другого применения). Проекция Меркатора отображает траектории постоянного курса (называемые ломбальными линиями или локсодромами) в прямые линии и, таким образом, уникально подходит для морской навигации: курсы и пеленги измеряются с помощью компасной розы или транспортира, а соответствующие направления легко переносятся с точки на точку на карте, например, с помощью параллельной линейки. Проекцию Меркатора часто сравнивают и путают с центральной цилиндрической проекцией, которая получается в результате проецирования точек со сферы на касательный цилиндр по прямым радиальным линиям, как будто от источника света, расположенного в центре Земли. Обе проекции имеют сильные искажения вдали от экватора и не могут отображать полюса. Однако это разные проекции с различными свойствами.

Извращение размеров

Как и на всех картографических проекциях, формы и размеры являются искажениями реального расположения поверхности Земли. Проекция Меркатора преувеличивает площади, расположенные далеко от экватора.

Примеры искажения размеров

Гренландия кажется такой же большой, как Африка, хотя на самом деле площадь Африки в 14 раз превышает площадь Гренландии. Реальная площадь Гренландии сопоставима с площадью одной лишь Демократической Республики Конго. Африка кажется примерно такой же большой, как Южная Америка, но на самом деле Африка более чем в полтора раза больше. Аляска кажется такой же большой, как Австралия, хотя Австралия на самом деле в 4,5 раза больше. Аляска также занимает на карте столько же площади, сколько и Бразилия, в то время как площадь Бразилии почти в 5 раз больше площади Аляски. Мадагаскар и Великобритания выглядят примерно одинаковыми по размеру, хотя Мадагаскар на самом деле более чем в два раза больше Великобритании.

Критика

Из-за значительных искажений площади суши критики, такие как Джордж Келлауэй и Ирвинг Фишер, считают эту проекцию непригодной для общих карт мира. Поскольку она показывает страны, расположенные вблизи экватора, непропорционально маленькими по сравнению со странами Европы и Северной Америки, предполагалось, что это может приводить к недооценке их значимости. Сам Меркатор использовал синусоидальную проекцию с равной площадью для отображения относительных размеров территорий. Однако, несмотря на такую критику, проекция Меркатора, особенно в конце XIX и начале XX веков, была, пожалуй, наиболее распространенной проекцией, используемой в картах мира. В 1940-х годах атласы в основном отказались от использования проекции Меркатора для карт мира или для областей, удаленных от экватора, предпочитая другие цилиндрические проекции или равновеликие проекции. Тем не менее, проекция Меркатора до сих пор широко применяется для областей вблизи экватора, где искажения минимальны, а также часто встречается на картах часовых поясов. В силу своей распространенности, проекция Меркатора, как считается, оказала влияние на восприятие мира. Арно Петерс вызвал споры, начиная с 1972 года, когда он предложил проекцию Галла-Питерса (теперь обычно называемую так) для решения проблем проекции Меркатора, утверждая, что это его оригинальная разработка, не упоминая предшествующие работы картографов, в частности, работу Галла 1855 года. Проекция, которую он продвигал, является конкретной параметризацией цилиндрической равновеликой проекции. В ответ на это, в 1989 году семь североамериканских географических организаций выступили с осуждением использования цилиндрических проекций для карт мира общего назначения, что включало как проекцию Меркатора, так и проекцию Галла-Питерса.

Применение

Практически каждая морская карта, которую можно найти в печати, основана на проекции Меркатора благодаря её уникальным преимуществам для навигации. Она также широко используется интернет-сервисами картографии улиц, поскольку обладает уникальными преимуществами при создании карт небольших территорий в режиме реального времени. Проекции Меркатора также сыграли важную роль в математическом развитии теории тектоники плит в 1960-х годах.

Морская навигация

Меркаторская проекция была разработана для использования в морской навигации благодаря её уникальному свойству отображать любой курс постоянного пеленга прямой линией. Такой курс, известный как румб (также называемый линией румба или локсодромой), предпочтителен в морской навигации, поскольку корабли могут следовать по постоянному компасному направлению. Это снижает сложность и вероятность ошибок при корректировке курса, которые потребовались бы при следовании по другому курсу. Для небольших расстояний (по сравнению с радиусом Земли) разница между румбом и кратчайшим курсом (ортодромией) несущественна. Даже на больших расстояниях простота поддержания постоянного пеленга делает его привлекательным. Как заметил Меркатор, следуя по такому курсу, корабль не прибудет по кратчайшему пути, но он обязательно достигнет пункта назначения. Следование по румбу означало, что морякам нужно было лишь удерживать постоянный курс, зная своё начальное и конечное местоположение, а также имея карту в проекции Меркатора, точно отображающую эти две координаты.

Веб-маркатор

Многие крупные онлайн-сервисы картографирования улиц (Bing Maps, Google Maps, Mapbox, MapQuest, OpenStreetMap, Yahoo! Карты и другие) используют вариант проекции Меркатора для своих изображений карт, называемый Web Mercator или Google Web Mercator. Несмотря на очевидное изменение масштаба на глобальном уровне (при малых масштабах), эта проекция хорошо подходит для интерактивных карт мира, которые можно плавно масштабировать до локальных (при больших масштабах), где искажения относительно невелики благодаря почти конформности данного варианта проекции. Системы тайлов основных онлайн-сервисов отображают большую часть мира на минимальном уровне масштабирования в виде единого квадратного изображения, исключая полярные области путем обрезания на широтах φmax = ±85.05113°. (См. ниже.) Значения широты, выходящие за пределы этого диапазона, отображаются с использованием иного соотношения, которое не имеет бесконечности при φ = ±90°.

Цилиндрические выступы

Хотя поверхность Земли лучше всего моделируется с помощью вращающегося сплюснутого эллипсоида, для карт малого масштаба эллипсоид приближается сферой радиуса *a*, где *a* составляет примерно 6371 км. Это сферическое приближение Земли может быть смоделировано меньшей сферой радиуса *R*, называемой в этом разделе глобусом. Глобус определяет масштаб карты. Различные цилиндрические проекции определяют, как географические детали переносятся с глобуса на цилиндр, касающийся его на экваторе. Затем цилиндр разворачивается, чтобы получить плоскую карту. Отношение называется представительным числом (RF) или главным масштабом проекции. Например, карта Меркатора, напечатанная в книге, может иметь экваториальную ширину 13,4 см, соответствующую радиусу глобуса 2,13 см и RF приблизительно (M используется как сокращение для 1 000 000 при записи RF), в то время как оригинальная карта Меркатора 1569 года имеет ширину 198 см, соответствующую радиусу глобуса 31,5 см и RF около . Цилиндрическая картографическая проекция задается формулами, связывающими географические координаты широты φ и долготы λ с декартовыми координатами на карте, с началом координат на экваторе и осью x вдоль экватора. По построению, все точки на одном меридиане лежат на одном образующей цилиндра при постоянном значении x, но расстояние y вдоль образующей (измеренное от экватора) является произвольной функцией широты, y(φ). В общем случае эта функция не описывает геометрическую проекцию (например, проекцию световых лучей на экран) из центра глобуса на цилиндр, которая является лишь одним из неограниченного числа способов концептуального проецирования цилиндрической карты. Поскольку цилиндр касается глобуса на экваторе, масштабный коэффициент между глобусом и цилиндром равен единице на экваторе, но больше нигде. В частности, поскольку радиус параллели, или окружности широты, равен *R* cos φ, соответствующая параллель на карте должна быть растянута в раз. Этот масштабный коэффициент на параллели обычно обозначается *k*, а соответствующий масштабный коэффициент на меридиане обозначается *h*.

Although the surface of Earth is best modelled by an oblate ellipsoid of revolution, for small scale maps the ellipsoid is approximated by a sphere of radius a, where a is approximately 6,371 km. This spherical approximation of Earth can be modelled by a smaller sphere of radius R, called the globe in this section. The globe determines the scale of the map. The various cylindrical projections specify how the geographic detail is transferred from the globe to a cylinder tangential to it at the equator. The cylinder is then unrolled to give the planar map. The fraction is called the representative fraction (RF) or the principal scale of the projection. For example, a Mercator map printed in a book might have an equatorial width of 13.4 cm corresponding to a globe radius of 2.13 cm and an RF of approximately (M is used as an abbreviation for 1,000,000 in writing an RF) whereas Mercator's original 1569 map has a width of 198 cm corresponding to a globe radius of 31.5 cm and an RF of about
A cylindrical map projection is specified by formulae linking the geographic coordinates of latitude φ and longitude λ to Cartesian coordinates on the map with origin on the equator and x axis along the equator. By construction, all points on the same meridian lie on the same generator of the cylinder at a constant value of x, but the distance y along the generator (measured from the equator) is an arbitrary function of latitude, y(φ). In general this function does not describe the geometrical projection (as of light rays onto a screen) from the centre of the globe to the cylinder, which is only one of an unlimited number of ways to conceptually project a cylindrical map. Since the cylinder is tangential to the globe at the equator, the scale factor between globe and cylinder is unity on the equator but nowhere else. In particular since the radius of a parallel, or circle of latitude, is R cos φ, the corresponding parallel on the map must have been stretched by a factor of This scale factor on the parallel is conventionally denoted by k and the corresponding scale factor on the meridian is denoted by h.

Вывод

Как обсуждалось выше, условие изотропии подразумевает, что h = k = sec φ. Рассмотрим точку на земном шаре радиусом R с долготой λ и широтой φ. Если φ увеличивается на бесконечно малую величину dφ, точка перемещается на R dφ вдоль меридиана земного шара радиуса R, поэтому соответствующее изменение y, dy, должно быть hR dφ = R sec φ dφ. Следовательно, y′(φ) = R sec φ. Аналогично, увеличение λ на dλ перемещает точку на R cos φ dλ вдоль параллели земного шара, так что dx = kR cos φ dλ = R dλ. То есть, x′(λ) = R. Интегрируя уравнения с начальными условиями x(λ0) = 0 и y(0) = 0, получаем x(λ) и y(φ). Значение λ0 – это долгота произвольного центрального меридиана, который обычно, но не всегда, является долготой Гринвича (то есть нуля). Углы λ и φ выражаются в радианах. Согласно интегралу от секанса, функция y(φ) строится графически рядом со значениями φ для случая R = 1: она стремится к бесконечности на полюсах. Линейные значения по оси y обычно не отображаются на печатных картах; вместо этого на некоторых картах справа показана нелинейная шкала значений широты. Чаще всего на картах отображается только сетка выбранных меридианов и параллелей.

Обратные преобразования

Выражение справа от второго уравнения определяет функцию Гудерманна; то есть, φ = gd: прямая формула, следовательно, может быть записана как y = R·gd⁻¹(φ). Масштабный коэффициент равен единице на экваторе, что и должно быть, поскольку цилиндр касается эллипсоида на экваторе. Эллипсоидная поправка к масштабному коэффициенту увеличивается с широтой, но никогда не превышает e², что составляет менее 1% поправки. (Значение e² составляет около 0,006 для всех эталонных эллипсоидов.) Это значительно меньше неточности масштаба, за исключением областей в непосредственной близости от экватора. Эллипсоидные поправки необходимы только для точных проекций Меркатора регионов, расположенных вблизи экватора. Обратная задача решается итерационно, поскольку в ней участвует изометрическая широта.