Цилиндрлік конформдық карта проекциясы

Кіріспе

Цилиндрлік конформалды карта проекциясы

Меркатор проекциясы (/mər/'keɪtər/) – фламанд географы және картографы Герард Меркатор 1569 жылы ұсынған цилиндрлік конформалды карта проекциясы. Ол жергілікті бағыттар мен пішіндерді сақтай отырып, кез келген жерде солтүстікті "жоғары", ал оңтүстікті "төмен" ретінде бейнелеу мүмкіндігіне байланысты теңіз жүзуге арналған стандартты карта проекциясы болды. Бірақ, осының салдарынан Меркатор проекциясы экватордан алшақтаған сайын нысандардың көлемін үлкейтіп көрсетеді. Меркатор проекциясында Гренландия және Антарктида сияқты құрлықтар экваторға жақын орналасқан құрлықтарға қарағанда әлдеқайда ірі болып көрінеді. Бұл кемшіліктеріне қарамастан, Меркатор проекциясы теңіз навигациясы мен интернеттегі карталар үшін өте қолайлы және бүгінгі күнге дейін кеңінен қолданылып келеді.

Тарих

Меркатордың шығу тегі туралы пікірталас бар. Неміс ғалымы Эрхард Эцлауб портативті қалталық күн сағаттарын реттеу үшін 0°–67° ендікте орналасқан Еуропа мен Африканың кейбір бөліктерінің шағын "компас карталарын" (шамамен 10×8 см) өрнектеді. 1511 жылы жасалған осы карталардағы проекцияны 1987 жылы Джон Снайдер Меркатордың проекциясымен бірдей деп мәлімдеді. Дегенмен, күн сағатының геометриясын ескере отырып, бұл карталар ұқсас орталық цилиндрлік проекцияға негізделген болуы мүмкін, ол күн сағатының негізі болып табылатын гномоникалық проекцияның шекті жағдайы. Снайдер 1993 жылы бағасын "ұқсас проекция" деп өзгертті. Қытай тарихшысы Джозеф Нидхам Қытайдың Сун әулетінің кейбір жұлдыздық карталары Меркатор проекциясына негізделген болуы мүмкін деп болжады; алайда, бұл талап дәлелсіз ұсынылды, ал астрономиялық тарихшы Кадзухико Миядзима картометриялық талдауды қолдана отырып, бұл карталар теңтұйық проекцияны қолданды деген қорытындыға келді. Португалиялық математик және космограф Педро Нуньес алғаш рет локсодроманың математикалық принципін және оның теңіз навигациясындағы қолданылуын сипаттады. 1537 жылы ол бағыттардың бұрмалануын азайту үшін теңтұйық проекцияда бірнеше үлкен масштабтағы парақтардан тұратын теңіз атласын құруды ұсынды. Егер осы парақтар бір масштабқа келтіріліп, жинаса, олар Меркатор проекциясына жуықтайтын болар еді. 1569 жылы Герхард Кремер, "Герардус Меркатор" саудалық атымен танымал болған, 18 бөлек парақтан тұратын және басылған үлкен жазықтық картаны жариялау арқылы жаңа проекцияны жариялады. Меркатор картаны "Жаңа және толықтырылған Жер сипаттамасы, теңізшілердің пайдалануы үшін түзетілген" деп атады. Бұл атау, сондай-ақ картадағы мәтіннің бөлігі ретінде келтірілген проекцияны пайдалану туралы егжей-тегжейлі түсіндірме, Меркатор өзінің жетістігін толық түсінгенін және проекцияны навигацияға көмектесу үшін жасағанын көрсетеді. Меркатор құрылыс әдісін және оған қалай келгенін ешқашан түсіндірмеді. Жылдар бойы әртүрлі гипотезалар айтылды, бірақ кез келген жағдайда Меркатордың Педро Нуньеспен достығы және Нуньес жасаған локсодромалық кестелерге қол жеткізуі оның күш-жігеріне көмектескен болуы мүмкін. Ағылшын математигі Эдвард Райт 1599 жылы проекцияны құруға арналған алғашқы дәл кестелерді жариялады, ал 1610 жылы оның трактатын "Навигациядағы белгілі қателер" деп атады. Алғашқы математикалық формуланы Генри Бонд (шамамен 1600–1678) деген математик 1645 жылы жариялады. Алайда, математиканың бұл түрін математик Томас Харриот 1589 жылы ойлап тапқан, бірақ ешқашан жарияламаған. Меркатор проекциясының дамуы 16 ғасырдағы теңіз картографиясында үлкен жетістік болды. Алайда, ол өз уақытынан озып кеткен, өйткені ескі навигациялық және геодезиялық әдістер оны навигацияда қолдануға үйлесімсіз болды. Оның бірден қолданылуына екі негізгі проблема кедергі келтірді: теңізде бойлықты жеткілікті дәлдікпен анықтау мүмкін еместігі және географиялық бағыттардың орнына магниттік бағыттар навигацияда қолданылғандығы. Тек 18 ғасырдың ортасында, теңіз хронометрі ойлап табылғаннан кейін және магниттік деклинацияның кеңістіктегі таралуы белгілі болғаннан кейін ғана Меркатор проекциясын навигаторлар толыққанды қабылдай алды. Орынды табудың осы шектеулеріне қарамастан, Меркатор проекциясын Меркатордың алғашқы басылымынан кейінгі ғасырларда көптеген әлем карталарында табуға болады. Алайда, ол 19 ғасырдан кейін ғана әлем карталарында басымдыққа ие болды, онда орынды анықтау мәселесі негізінен шешілді. Меркатор коммерциялық және білім беру карталары үшін стандартты проекцияға айналғаннан кейін, ол жер массаларын теңгерімсіз бейнелеуі және полярлық аймақтарды тиімді көрсетуге қабілетсіздігі үшін картографтардың үнемі сынауына ұшырады. Меркатор проекциясын орынсыз пайдалануға қатысты сын-пікірлер 19-шы ғасырдың соңы мен 20-шы ғасырдың басында жаңа өнертабыстардың көптеуіне әкелді, олар көбінесе Меркатор проекциясына балама ретінде тікелей ұсынылды. Осы қысымдардың нәтижесінде баспагерлер 20-шы ғасыр бойы проекцияны пайдалануды біртіндеп қысқартты. Алайда, веб-карталаудың пайда болуы проекцияға Веб-Меркатор проекциясы түрінде күрт қайта жандану сыйлады. Бүгінде Меркатор теңіз карталарында, кейбір әлем карталарында және веб-карталық қызметтерде кездеседі, бірақ коммерциялық атластар оны көбінесе қолданбайды, ал әлем карталарын көптеген балама проекцияларда табуға болады. Google Maps, 2005 жылдан бері оны қолданып келген, жергілікті аудандардың карталары үшін оны әлі де пайдаланады, бірақ 2017 жылы жергілікті аудандардан алыс карталар үшін десктоп платформаларынан проекцияны алып тастады. Көптеген басқа онлайн карталық қызметтер әлі де Веб-Меркаторды ғана қолданады.

There is some controversy over the origins of the Mercator. German polymath Erhard Etzlaub engraved miniature "compass maps" (about 10×8 cm) of Europe and parts of Africa that spanned latitudes 0°–67° to allow adjustment of his portable pocket size sundials. The projection found on these maps, dating to 1511, was stated by John Snyder in 1987 to be the same projection as Mercator's. However, given the geometry of a sundial, these maps may well have been based on the similar central cylindrical projection, a limiting case of the gnomonic projection, which is the basis for a sundial. Snyder amended his assessment to "a similar projection" in 1993. Joseph Needham, a historian of China, speculated that some star charts of the Chinese Song Dynasty may have been based on the Mercator projection; however, this claim was presented without evidence, and astronomical historian Kazuhiko Miyajima concluded using cartometric analysis that these charts used an equirectangular projection instead. Portuguese mathematician and cosmographer Pedro Nunes first described the mathematical principle of the loxodrome and its use in marine navigation. In 1537, he proposed constructing a nautical atlas composed of several large scale sheets in the equirectangular projection as a way to minimize distortion of directions. If these sheets were brought to the same scale and assembled, they would approximate the Mercator projection. In 1569, Gerhard Kremer, known by his trade name Gerardus Mercator, announced a new projection by publishing a large planispheric map measuring and printed in eighteen separate sheets. Mercator titled the map Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: "A new and augmented description of Earth corrected for the use of sailors". This title, along with an elaborate explanation for using the projection that appears as a section of text on the map, shows that Mercator understood exactly what he had achieved and that he intended the projection to aid navigation. Mercator never explained the method of construction or how he arrived at it. Various hypotheses have been tendered over the years, but in any case Mercator's friendship with Pedro Nunes and his access to the loxodromic tables Nunes created likely aided his efforts. English mathematician Edward Wright published the first accurate tables for constructing the projection in 1599 and, in more detail, in 1610, calling his treatise "Certaine Errors in Navigation". The first mathematical formulation was publicized around 1645 by a mathematician named Henry Bond (c. 1600–1678). However, the mathematics involved were developed but never published by mathematician Thomas Harriot starting around 1589. The development of the Mercator projection represented a major breakthrough in the nautical cartography of the 16th century. However, it was much ahead of its time, since the old navigational and surveying techniques were not compatible with its use in navigation. Two main problems prevented its immediate application: the impossibility of determining the longitude at sea with adequate accuracy and the fact that magnetic directions, instead of geographical directions, were used in navigation. Only in the middle of the 18th century, after the marine chronometer was invented and the spatial distribution of magnetic declination was known, could the Mercator projection be fully adopted by navigators. Despite those position finding limitations, the Mercator projection can be found in many world maps in the centuries following Mercator's first publication. However, it did not begin to dominate world maps until the 19th century, when the problem of position determination had been largely solved. Once the Mercator became the usual projection for commercial and educational maps, it came under persistent criticism from cartographers for its unbalanced representation of landmasses and its inability to usefully show the polar regions. The criticisms leveled against inappropriate use of the Mercator projection resulted in a flurry of new inventions in the late 19th and early 20th century, often directly touted as alternatives to the Mercator. Due to these pressures, publishers gradually reduced their use of the projection over the course of the 20th century. However, the advent of Web mapping gave the projection an abrupt resurgence in the form of the Web Mercator projection. Today, the Mercator can be found in marine charts, occasional world maps, and Web mapping services, but commercial atlases have largely abandoned it, and wall maps of the world can be found in many alternative projections. Google Maps, which relied on it since 2005, still uses it for local area maps but dropped the projection from desktop platforms in 2017 for maps that are zoomed out of local areas. Many other online mapping services still exclusively use the Web Mercator.

Қасиеттері

Барлық цилиндрлік проекциялардағыдай, Меркатор проекциясындағы параллельдер мен меридиандар бір-біріне тік және перпендикуляр болады. Бұл үшін, экватордан қашықтық артқан сайын картаның шығыс-батысқа қарай созылуы, Меркатор проекциясында солтүстік-оңтүстікке қарай созылумен бірге жүреді, нәтижесінде әрбір нүктеде шығыс-батыс масштабы солтүстік-оңтүстік масштабымен теңеседі, осылайша бұл проекция конформды болады. Конформды проекциялар барлық нүктелердегі бұрыштарды сақтайды. Меркатор картасының сызықтық масштабы ендік бойынша өскендіктен, экватордан алыс жатқан географиялық нысандардың мөлшері бұрмаланады және планетаның жалпы геометриясы туралы бұрмаланған түсінік қалыптасады. 70° солтүстік немесе оңтүстік ендігінен жоғары ендіктерде Меркатор проекциясы практикалық түрде қолдануға келмейді, себебі сызықтық масштаб полюстерде шексіз үлкен болады. Сондықтан Меркатор картасы полярлық аймақтарды толыққанды көрсетуге екеуі жоқ (егер проекция Жердің айналу осіне ортасталған цилиндрге негізделген болса; басқа қолданыс үшін көлденең Меркатор проекциясына қараңыз). Меркатор проекциясы тұрақты бағыттардың траекторияларын (ромб сызықтары немесе локсодромалар деп аталады) тура сызықтарға айналдырады, сондықтан теңіздік навигация үшін өте қолайлы: бағыттар мен румбылар компас немесе транспортир арқылы өлшенеді, ал сәйкес бағыттар картада бір нүктеден екінші нүктеге, мысалы, параллель сызғыш көмегімен оңай ауыстырылады. Меркатор проекциясы көбінесе орталық цилиндрлік проекциямен салыстырылады және олар шатастырылады, ол Жердің ортасында орналасқан жарық көзінен түсетін тікелей радиалдық сызықтар арқылы шардан жанама цилиндрге нүктелерді проекциялау нәтижесі болып табылады. Екеуі де экватордан алыс жерлерде қатты бұрмалануға ұшырайды және полюстерді көрсетуге қабілетсіз. Дегенмен, олар әртүрлі проекциялар және әртүрлі қасиеттерге ие.

Өлшемі бұрмалануы

Барлық карта проекцияларындағыдай, пішіндер немесе көлемдер Жер бетінің нақты түрінің бұрмалаулары болып табылады. Меркатор проекциясы экватордан алшақ жатқан аймақтарды үлкейтіп көрсетеді.

Өлшемі бұрмалануының мысалдары

Гренландия Африкамен бірдей көрінеді, бірақ шындығында Африканың ауданы 14 есе үлкен. Гренландияның нақты ауданы тек Конго Демократиялық Республикасының ауданымен салыстырылады. Африка Оңтүстік Америкамен шамамен бірдей көрінеді, бірақ шындығында Африка бір жарым есе үлкен. Аляска Австралиямен бірдей көрінеді, ал Австралия шындығында 4,5 есе үлкен. Аляска картада Бразилиямен бірдей ауданды алып жатыр, ал Бразилияның ауданы Аляскадан шамамен 5 есе үлкен. Мадагаскар мен Ұлыбритания шамамен бірдей көрінеді, бірақ Мадагаскар Ұлыбританиядан екі еседен астам үлкен.

Сын

Жердің кең аумағындағы бұрмалаулардың көп болуына байланысты Джордж Келлауэй мен Ирвинг Фишер сияқты сыншылар бұл проекцияны жалпы әлемдік карталар үшін қолайсыз деп санайды. Ол экваторға жақын елдерді Еуропа мен Солтүстік Америкамен салыстырғанда тым кішкентай етіп көрсетеді, сондықтан адамдар осы елдерді кем маңызды деп ойлауы мүмкін. Меркатор өзі салыстырмалы аудандарды көрсету үшін тең ауданы бар синусоидты проекцияны қолданған. Дегенмен, мұндай сынға қарамастан, Меркатор проекциясы, әсіресе 19-шы ғасырдың соңы мен 20-шы ғасырдың басында, әлемдік карталарда ең көп қолданылатын проекция болды. Атластар 1940 жылдары әлемдік карталар үшін немесе экватордан алыс аймақтар үшін Меркатор проекциясын қолдануды тоқтатты, оның орнына басқа цилиндрлік проекцияларды немесе тең ауданы бар проекция түрлерін ұсынды. Алайда, Меркатор проекциясы бұрмалаудың аз болуымен экваторға жақын аймақтарда әлі де жиі қолданылады. Ол сондай-ақ уақыт белдеулерінің карталарында да көп кездеседі. Оның кең таралған қолданылуынан Меркатор проекциясы адамдардың әлемге деген көзқарасына әсер еткен деп есептеледі. Арно Петерс 1972 жылы Меркатордың мәселелерін шешу үшін, қазір Галл-Петерс проекциясы деп аталатын проекцияны ұсынды, осы арқылы 1855 жылғы Галлдың еңбектері сияқты картографтардың бұрынғы жұмыстарына сілтеме жасамай, оны өзінің түпнұсқалық еңбегі деп мәлімдеді. Ол ұсынған проекция – цилиндрлік тең ауданы проекциясының нақты параметрленген түрі. Жауап ретінде, 1989 жылы Солтүстік Американың жеті географиялық ұйымының қаулысы жалпы мақсаттағы әлемдік карталар үшін цилиндрлік проекцияларды қолдануға қарсы болды, бұл Меркатор және Галл-Петерс проекцияларын да қамтиды.

Қолданылуы

Баспадағы теңіз карталарының дені, навигация үшін ерекше қолайлы қасиеттері болғандықтан, Меркатор проекциясына негізделген. Ол сондай-ақ, Интернеттегі көше карталары қызметтерінде де кеңінен қолданылады, себебі оның сұраныс бойынша есептелетін жергілікті аудан карталары үшін бірегей артықшылықтары бар. Меркатор проекциялары 1960 жылдары тақталар тектоникасының математикалық дамуында да маңызды рөл атқарды.

Теңізде жүзу

Меркатор проекциясы теңіз саяхаты үшін жасалған, себебі оның ерекше қасиеті – кез келген тұрақты бағытты түзу сызық ретінде көрсетуі. Мұндай бағыт, ромб (немесе ромб сызығы, локсодрома деп те аталады) теңіз саяхатында тиімді, өйткені кемелер тұрақты компас бағытында жүзе алады. Бұл, басқа бағыттармен жүзгенде қажет болатын қиын және қателіктерге ұшырау мүмкіндігі жоғары бағытты түзетулерді азайтады. Ұсақ қашықтықтарда (Жер радиусымен салыстырғанда) ромб пен үлкен шеңбер бағыты арасындағы айырмашылық сезілмейді. Тіпті ұзақ қашықтықтарда да, тұрақты бағыттың қарапайымдылығы оны тартымды етеді. Меркатордың айтуынша, мұндай бағытпен кеме ең қысқа жолмен жетпесе де, сөзсіз жетеді. Ромб бағытымен жүзу дегеніміз, теңізшілердің қай жерден бастағанын, қай жерге жетуді жоспарлағанын білуі және Mercator проекциясындағы картада осы екі координата дұрыс көрсетілгенде, тұрақты бағытты сақтауы керек.

Web Mercator веб-сайты

Көптеген ірі онлайн көше карталарын жасау қызметтері (Bing Maps, Google Maps, Mapbox, MapQuest, OpenStreetMap, Yahoo! Карталар және басқалар) карталық кескіндері үшін Меркатор проекциясының Web Mercator немесе Google Web Mercator деп аталатын түрін пайдаланады. Әлемдік деңгейде (кішкентай масштабтарда) айқын масштаб өзгерулеріне қарамастан, бұл проекция интерактивті әлем картасы ретінде жақсы жарайды, оны жергілікті (ірі масштабты) карталарға үздіксіз түрде жақындатуға болады, онда проекцияның жақын конформдылығына байланысты бұрмалану салыстырмалы түрде аз. Ірі онлайн көше карталарын жасау қызметтерінің плиткалық жүйелері әлемнің көп бөлігін ең кішкентай масштабта бір шаршы кескін ретінде көрсетеді, полярлық аймақтарды φmax = ±85.05113° ендіктеріндегі қиып тастау арқылы ескермейді. (Төменде қараңыз.) Осы шектен тыс ендік мәндері φ = ±90°-да шексіздікке ұшырамайтын басқа қатынас арқылы картаға түсіріледі.

Цилиндрлік шығыңқылар

Жердің беті ең жақсы түрде айналмалы жалпақ эллипсоидпен модельделеді, бірақ кішкентай масштабты карталар үшін эллипсоид радиусы *a* болатын шармен жуықталады, мұнда *a* шамамен 6,371 км-ге тең. Жердің осы шар тәрізді жуықталуын осы бөлімде жер шары деп атайтын, радиусы *R* болатын кішкентай шар арқылы модельдеуге болады. Жер шары картаның масштабын анықтайды. Әртүрлі цилиндрлік проекциялар географиялық егжей-тегжейлі ақпаратты жер шарынан экваторға жанасқан цилиндрге қалай беру керектігін көрсетеді. Содан кейін цилиндр жазылып, жазық карта жасалады. Бөлшек – бұл өкілдік бөлшегі (ӨБ) немесе проекцияның негізгі масштабы деп аталады. Мысалы, кітапта басылған Меркатор картасының экваторлық ені 13,4 см болуы мүмкін, бұл 2,13 см жер шарының радиусына сәйкес келеді және шамамен RF (RF жазуда M 1,000,000-ға қысқарту ретінде қолданылады), ал Меркатордың 1569 жылғы түпнұсқа картасының ені 198 см, бұл 31,5 см жер шарының радиусына сәйкес келеді және шамамен RF құрайды. Құрылысы бойынша, бірдей меридиандағы барлық нүктелер цилиндрдің бірдей генераторында *x*-тің тұрақты мәнінде орналасқан, бірақ генератор бойымен *y* қашықтығы (экватордан өлшенген) ендіктің кездейсоқ функциясы, *y(φ)*. Жалпы алғанда, бұл функция жер шарының ортасынан цилиндрге жарық сәулелерінің проекциясы сияқты геометриялық проекцияны сипаттамайды, бұл цилиндрлік картаны тұжырымдамалық түрде бейнелеудің шексіз көптеген тәсілдерінің бірі ғана. Цилиндр экватордағы жер шарына жанасқандықтан, жер шары мен цилиндр арасындағы масштаб факторы экваторда бірлікке тең, бірақ басқа жерде емес. Атап айтқанда, ендіктің радиусы *R* cos *φ* болғандықтан, картадағы сәйкес параллельдің созылуы *k* есебімен, ал меридиандағы сәйкес масштабтық коэффициент *h* есебімен белгіленеді.

Although the surface of Earth is best modelled by an oblate ellipsoid of revolution, for small scale maps the ellipsoid is approximated by a sphere of radius a, where a is approximately 6,371 km. This spherical approximation of Earth can be modelled by a smaller sphere of radius R, called the globe in this section. The globe determines the scale of the map. The various cylindrical projections specify how the geographic detail is transferred from the globe to a cylinder tangential to it at the equator. The cylinder is then unrolled to give the planar map. The fraction is called the representative fraction (RF) or the principal scale of the projection. For example, a Mercator map printed in a book might have an equatorial width of 13.4 cm corresponding to a globe radius of 2.13 cm and an RF of approximately (M is used as an abbreviation for 1,000,000 in writing an RF) whereas Mercator's original 1569 map has a width of 198 cm corresponding to a globe radius of 31.5 cm and an RF of about
A cylindrical map projection is specified by formulae linking the geographic coordinates of latitude φ and longitude λ to Cartesian coordinates on the map with origin on the equator and x axis along the equator. By construction, all points on the same meridian lie on the same generator of the cylinder at a constant value of x, but the distance y along the generator (measured from the equator) is an arbitrary function of latitude, y(φ). In general this function does not describe the geometrical projection (as of light rays onto a screen) from the centre of the globe to the cylinder, which is only one of an unlimited number of ways to conceptually project a cylindrical map. Since the cylinder is tangential to the globe at the equator, the scale factor between globe and cylinder is unity on the equator but nowhere else. In particular since the radius of a parallel, or circle of latitude, is R cos φ, the corresponding parallel on the map must have been stretched by a factor of This scale factor on the parallel is conventionally denoted by k and the corresponding scale factor on the meridian is denoted by h.

Алыстыру

Жоғарыда айтылғандай, изотропия шарты h = k = sec φ дегенді білдіреді. Радиусы R, бойлық λ және ені φ болатын Жер шарындағы бір нүктені қарастырайық. Егер φ шамалы өзгеріске ұшыраса, dφ, онда нүкте R dφ радиусы R болатын Жер шарының меридианы бойымен жылжиды, сондықтан y-тің, dy-тің сәйкес өзгеруі hR dφ = R sec φ dφ болуы керек. Демек, y′(φ) = R sec φ. Сол сияқты, λ-ны dλ-ға арттырса, нүкте R cos φ dλ Жер шарының параллелі бойымен жылжиды, сондықтан dx = kR cos φ dλ = R dλ. Яғни, x′(λ) = R. x(λ0) = 0 және y(0) = 0 теңдеулерін интегралдау арқылы x(λ) және y(φ) табылады. λ0 мәні – әдетте, бірақ міндетті емес, Гринвичтің (яғни нөл) бойлық шегін көрсететін кездейсоқ орталық меридиан. λ және φ бұрыштары радиандармен беріледі. Секанс функциясының интегралы бойынша y(φ) функциясы φ-мен бірге R = 1 жағдайында салынады: ол полюстерде шексіздікке ұмтылады. Сызықтық y осьінің мәндері әдетте басылған карталарда көрсетілмейді; оның орнына кейбір карталарда оң жақтағы ендік мәндерінің сызықтық емес шкаласы көрсетіледі. Көбінесе карталарда тек қана таңдалған меридиандар мен параллельдердің торы ғана бейнеленеді.

Кері түрлендірулер

Екінші теңдеудің оң жағындағы өрнек Гудерманн функциясын анықтайды; яғни φ = gd: сондықтан тікелей теңдеуді y = R·gd−1(φ) түрінде жазуға болады. Экваторда масштаб факторы бірлікке тең, себебі цилиндр экватордағы эллипсоидқа жанасады. Масштаб факторының эллипсоидтық түзетуі ендік артуымен бірге өседі, бірақ ол ешқашан e2-ден аспайды, бұл 1%-дан кем түзету болып табылады. (e2 мәні барлық анықтамалық эллипсоидтар үшін шамамен 0,006-ға тең.) Бұл, экваторға өте жақын болмаса, масштабтың қателігінен әлдеқайда кішідірек. Экваторға жақын аймақтардың дәл Меркатор проекциялары ғана эллипсоидтық түзетулерді қажет етеді. Кері есептеу изометриялық ендік қатысқандықтан итеративті түрде шешіледі.