Введение
Дифференциальная геометрия построена на волокнистых пучках В дифференциальной геометрии, Эресманновское соединение (по имени французского математика Шарля Эресмана, который впервые формализовал это понятие) является версией понятия соединения, которое имеет смысл на любом гладком волокнистом пучке. В частности, он не опирается на возможную структуру векторного пучка базового волокнистого пучка, но, тем не менее, линейные соединения можно рассматривать как особый случай. Другим важным особым случаем связей Эресмана являются основные связи на основных пакетах, которые должны быть эквивариантными в основном действии группы Ли.
In differential geometry, an Ehresmann connection (after the French mathematician Charles Ehresmann who first formalized this concept) is a version of the notion of a connection, which makes sense on any smooth fiber bundle. In particular, it does not rely on the possible vector bundle structure of the underlying fiber bundle, but nevertheless, linear connections may be viewed as a special case. Another important special case of Ehresmann connections are principal connections on principal bundles, which are required to be equivariant in the principal Lie group action.
Введение
Ковариантная производная в дифференциальной геометрии - это линейный дифференциальный оператор, который принимает направленную производную сечения векторного пучка ковариантной манерой. Это также позволяет сформулировать понятие параллельного сечения пучка в направлении вектора: сечение s параллельно по вектору, если Так что ковариантная производная обеспечивает по крайней мере две вещи: дифференциальный оператор и понятие о том, что значит быть параллельным в каждом направлении. Эреманское соединение полностью исключает дифференциальный оператор и определяет соединение аксиоматически с точки зрения секций, параллельных в каждом направлении. В частности, соединение Эремана выделяет векторное подпространство каждого касательного пространства к общему пространству волокна, называемому горизонтальным пространством. В этом случае сечение горизонтально (т.е. параллельно) в направлении, если оно лежит в горизонтальном пространстве. Здесь мы рассматриваем как функцию от основания к волокнистому пучка, так что это тогда продвижение вперед касательных векторов. Горизонтальные пространства вместе образуют векторный подпасок. Это имеет непосредственное преимущество в том, что может быть определено на гораздо более широком классе структур, чем простые векторные пакеты. В частности, он хорошо определен на общем волокнистом пучке. Кроме того, многие из особенностей ковариантной производной все еще сохраняются: параллельный транспорт, кривизна и голономия. Отсутствующий компонент связи, помимо линейности, это ковариантность. При классических ковариантных производных ковариантность является а posteriori особенностью производной. В их построении указывается закон преобразования символов Кристофеля , который не является ковариантом , а затем в результате следует общее ковариантность производной. Для связи Эресмана можно с самого начала установить обобщенный принцип ковариантности, введя группу Ли, действующую на волокна волокнистого пучка. Соответствующее условие - требовать, чтобы горизонтальные пространства были в определенном смысле эквивалентными по отношению к групповому действию. Заключительная точка для связи Эресмана заключается в том, что она может быть представлена в виде дифференциальной формы, почти так же, как и в случае формы связи. Если группа действует на волокна и соединение эквивариантное, то форма также будет эквивариантной. Кроме того, форма соединения позволяет определить кривизну как форму кривизны.
This has the immediate benefit of being definable on a much broader class of structures than mere vector bundles. In particular, it is well defined on a general fiber bundle. Furthermore, many of the features of the covariant derivative still remain: parallel transport, curvature, and holonomy. The missing ingredient of the connection, apart from linearity, is covariance. With the classical covariant derivatives, covariance is an a posteriori feature of the derivative. In their construction one specifies the transformation law of the Christoffel symbols – which is not covariant – and then general covariance of the derivative follows as a result. For an Ehresmann connection, it is possible to impose a generalized covariance principle from the beginning by introducing a Lie group acting on the fibers of the fiber bundle. The appropriate condition is to require that the horizontal spaces be, in a certain sense, equivariant with respect to the group action. The finishing touch for an Ehresmann connection is that it can be represented as a differential form, in much the same way as the case of a connection form. If the group acts on the fibers and the connection is equivariant, then the form will also be equivariant. Furthermore, the connection form allows for a definition of curvature as a curvature form as well.
Формальное определение
Пусть будет гладкий волокнистый пучок. Пусть вертикальный пучок, состоящий из векторов, "тангентных к волокнам" E, т. е. волокна V в is Этот подпучок канонически определен, даже когда нет канонического подпространства, касающегося базового пространства M. (Конечно, эта асимметрия исходит из самого определения пучка волокна, который "имеет только одну проекцию", в то время как продукт будет иметь две).
be the vertical bundle consisting of the vectors "tangent to the fibers" of E, i. e. the fiber of V at is This subbundle of is canonically defined even when there is no canonical subspace tangent to the base space M. (Of course, this asymmetry comes from the very definition of a fiber bundle, which "only has one projection" while a product would have two.)
Определение через горизонтальные подпространства
Свод Эрерсмана on представляет собой гладкий подсвод , называемый горизонтальным свёздом соединения, который является дополнением к V, в том смысле, что он определяет прямое суммирование. Более подробно горизонтальный свёзд имеет следующие свойства. Для каждой точки , является векторным подпространством касательного пространства до at , называемым горизонтальным подпространством соединения at зависит плавно от Для каждого , любой касательный вектор в (для любого ) является суммой горизонтальной и вертикальной составляющей, так что в более сложных терминах такое назначение горизонтальных пространств, удовлетворяющее этим свойствам, точно соответствует гладкому сечению струи J1E → E.
In more sophisticated terms, such an assignment of horizontal spaces satisfying these properties corresponds precisely to a smooth section of the jet bundle J1E → E.
Полная информация
Сцепление Эресмана позволяет поворотам иметь уникальные горизонтальные подъемы локально. Для полного соединения Эресмана кривая может быть горизонтально поднята по всей своей области.
Голономия
Плоскость соединения соответствует локально интеграбельности Фробениуса горизонтальных пространств. В другой крайности, не исчезающая кривизна подразумевает наличие голономии соединения.