Введение
В конформной геометрии, конструирование окружающей среды относится к конструкции Чарльза Феффермана и Робина Грэма, для которых конформный многообразие измерения n реализуется (амбиентно) как граница определенного многообразия Поанкаре, или, как альтернатива, как небесная сфера определенного псевдо-Риманновского многообразия. Конструкция окружающей среды является канонической в том смысле, что она выполняется только с использованием конформного класса метрики: она конформно инвариантная. Однако конструкция работает только асимптотически, до определенного порядка приближения. В целом, существует препятствие для продолжения этого расширения после критического порядка. Сам по себе обструкция имеет тензорный характер и известен как (конформальный) тензор обструкции. Он, наряду с тензором Вейла, является одним из двух примитивных инвариантов в конформной дифференциальной геометрии. Помимо тензора препятствий, окружающая конструкция может быть использована для определения класса конформно-инвариантных дифференциальных операторов, известных как операторы GJMS. Сходной конструкцией является тракторная связка.
Обзор
Модель плоской геометрии для конструирования окружающей среды - будущий нулевой конус в пространстве Минковского, с удаленным началом. Небесная сфера в бесконечности - это конформный многообразие M, а нулевые лучи в конусе определяют линейный пучок над M. Кроме того, нулевой конус несет метрику, которая вырождается в направлении генераторов конуса. Конструкция окружающей среды в этом плоском модельном пространстве затем спрашивает: если кто-то снабжен таким пучком линий вместе с его вырожденной метрикой, в какой степени возможно расширить метрику от нулевого конуса каноническим образом, таким образом восстанавливая окружающее пространство Минковского? В формальном выражении, вырожденная метрика обеспечивает Дирихлетово пограничное условие для проблемы расширения, и, как это случается, естественное условие для расширенной метрики - плоская Риччи (из-за нормализации нормальной конформной связи). Конструкция окружающей среды обобщает это на случай, когда M конформно изогнута, сначала путем построения естественного пучка нулевой линии N с вырожденной метрикой, а затем решения связанной с этим проблемы Дирихле на N × (1,1).
Подробности
В этом разделе представлен обзор конструкции сначала пучка нулевой линии, а затем ее расширения в окружающем пространстве.