Введение
Предположение о том, что получение денежной суммы сейчас выгоднее, чем получение ее позже.
Временная стоимость денег – это общепринятое предположение о том, что получение денежной суммы сейчас выгоднее, чем получение идентичной суммы в будущем. Это можно рассматривать как следствие более поздней разработанной концепции временных предпочтений. Временная стоимость денег отражает наблюдение, что лучше получить деньги раньше, чем позже. Деньги, имеющиеся сегодня, можно инвестировать для получения положительной доходности, что приведет к увеличению капитала в будущем. Следовательно, доллар сегодня стоит больше, чем доллар в будущем. Временная стоимость денег является одним из факторов, учитываемых при оценке альтернативных издержек расходов по сравнению со сбережениями или инвестициями. Таким образом, она является одной из причин, по которым выплачиваются или начисляются проценты: проценты, будь то по банковскому депозиту или по долгу, компенсируют вкладчику или кредитору потерю возможности использования их средств. Инвесторы готовы отказаться от немедленных расходов только в том случае, если они ожидают благоприятную чистую прибыль от своих инвестиций в будущем, причем увеличение стоимости, доступной в дальнейшем, должно быть достаточно высоким, чтобы компенсировать как предпочтение тратить деньги сейчас, так и инфляцию (при ее наличии); см. требуемую ставку доходности.
История
Талмуд (~500 н.э.) признает временную стоимость денег. В трактате "Маккот" на странице 3а Талмуд рассматривает случай, когда свидетели ложно утверждали, что срок займа составлял 30 дней, тогда как на самом деле он составлял 10 лет. Ложные свидетели должны возместить разницу в стоимости займа, равную той, что возникла бы, если бы заемщик должен был вернуть деньги в течение тридцати дней, и той, что возникла бы, если бы он должен был вернуть ту же сумму в течение десяти лет. Эта разница – это та сумма, которую заемщик потерял бы из-за показаний (ложных) свидетелей, и, следовательно, именно эту сумму они должны выплатить. Позднее эту идею описал Мартин де Азпилькуэта (1491–1586) из Саламанкской школы.
Будущая стоимость текущей суммы
Формула будущей стоимости (FV) аналогична и использует те же переменные.
Текущая стоимость аннуитета за n периодов платежей
В этом случае значения денежных потоков остаются одинаковыми на протяжении n периодов. Формула приведенной стоимости аннуитета (PVA) содержит четыре переменные, каждая из которых может быть решена численными методами:
Чтобы получить приведенную стоимость немедленного аннуитета, умножьте вышеуказанное уравнение на (1 + i).
Текущая стоимость бессрочного договора
Бессрочный аннуитет – это регулярные выплаты фиксированной суммы, которые продолжаются бесконечно. При n, стремящемся к бесконечности, текущая стоимость (PV) формулы бессрочного аннуитета (вечного аннуитета) упрощается до простого деления.
Вывод бессрочной давности
Не приводя здесь формальный вывод, формула ренты на бесконечное количество периодов выводится из формулы аннуитета. В частности, можно заметить, что выражение:
стремится к значению 1 при увеличении n. При n, стремящемся к бесконечности, оно равно 1, оставляя только член .
Непрерывное соединение
Ставки иногда преобразуются в эквивалент непрерывного сложного процента, поскольку непрерывный эквивалент более удобен (например, его проще дифференцировать). Каждую из приведенных выше формул можно переформулировать в виде непрерывного эквивалента. Например, приведенная стоимость в момент времени 0 будущего платежа в момент времени t может быть выражена следующим образом, где e – основание натурального логарифма, а r – непрерывно начисляемая ставка:
Это можно обобщить на ставки дисконтирования, которые меняются со временем: вместо постоянной ставки дисконтирования r используется функция времени r(t). В этом случае коэффициент дисконтирования, а следовательно, и приведенная стоимость денежного потока в момент T, определяется интегралом от непрерывно начисляемой ставки r(t):
Действительно, ключевая причина использования непрерывного начисления процентов заключается в упрощении анализа изменяющихся ставок дисконтирования и возможности использования инструментов математического анализа. Кроме того, для процентов, начисляемых и капитализируемых ежедневно, непрерывное начисление является хорошим приближением к фактическому ежедневному начислению. Более сложный анализ включает использование дифференциальных уравнений, как описано ниже.