Введение
В математике точка Хегнера - точка на модульной кривой, которая является изображением квадратной мнимой точки верхней половины плоскости. Они были определены Брайаном Бирчем и названы в честь Курта Хегнера, который использовал подобные идеи для доказательства гипотезы Гаусса о воображаемых квадратных полях класса номер один.
Теорема Гросса Зайгера
Теорема Гросса-Загиера описывает высоту точек Хегнера в терминах производной функции L эллиптической кривой в точке s = 1. В частности, если эллиптическая кривая имеет (аналитический) ранг 1, то точки Хегнера могут быть использованы для построения рациональной точки на кривой бесконечного порядка (так группа Морделл-Вейла имеет ранг по крайней мере 1). Более общее, показал, что точки Хегнера можно использовать для построения рациональных точек на кривой для каждого положительного целого числа n, а высоты этих точек были коэффициентами модульной формы весом 3/2. Шоу Ву Чжан обобщил теорему Гросса Зайгера от эллиптических кривых до случая модульных абелевых разновидностей (, ).
Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера
Позже Колывагин использовал точки Хегнера для построения систем Эйлера и использовал это для доказательства большинства гипотез Бирча-Свиннертона-Дайера для эллиптических кривых первого ранга. Браун доказал гипотезу Бирча-Свиннертона-Дайера для большинства эллиптических кривых ранга 1 в глобальных полях с положительной характеристикой .
Вычисления
Точки Хегнера могут использоваться для вычисления очень больших рациональных точек на эллиптических кривых ранга 1 (см. обзор), которые не могут быть найдены наивными методами. Реализации алгоритма доступны в Magma, PARI/GP и Sage.