Конкретные категории и верные функторы в множества

Введение

Категория, снабженная верным функтором в категорию множеств. В математике конкретная категория — это категория, снабженная верным функтором в категорию множеств (или иногда в другую категорию, см. раздел «Относительная конкретность» ниже). Этот функтор позволяет рассматривать объекты категории как множества с дополнительной структурой, а морфизмы — как функции, сохраняющие эту структуру. Многие важные категории имеют очевидную интерпретацию как конкретные категории, например, категория топологических пространств и категория групп, а также сама категория множеств. С другой стороны, гомотопическая категория топологических пространств не является конкретизируемой, то есть не допускает верного функтора в категорию множеств. Конкретная категория, определяемая без обращения к понятию категории, состоит из класса объектов, каждый из которых снабжен базовым множеством, и для любых двух объектов A и B — множества функций, называемых гомоморфизмами, из базового множества A в базовое множество B. Кроме того, для каждого объекта A функция тождества на базовом множестве A должна быть гомоморфизмом из A в A, а композиция гомоморфизма из A в B, за которой следует гомоморфизм из B в C, должна быть гомоморфизмом из A в C.

Другие примеры

Любую группу G можно рассматривать как «абстрактную» категорию с одним произвольным объектом и одним морфизмом для каждого элемента группы. Это не считается конкретной в соответствии с интуитивным понятием, описанным в начале этой статьи. Но каждое верное G-множество (эквивалентно, каждое представление G как группы перестановок) определяет верный функтор G → Set. Поскольку каждая группа действует верно на себя, G может быть сделана конкретной категорией по крайней мере одним способом. Аналогично, любое частично упорядоченное множество P можно рассматривать как абстрактную категорию с единственной стрелкой x → y, когда x ≤ y. Это можно конкретизировать, определив функтор D : P → Set, который отображает каждый объект x в и каждую стрелку x → y в отображение включения. Категория Rel, объекты которой — множества, а морфизмы — отношения, может быть конкретизирована, взяв U, отображающее каждое множество X в его булеан (или power set) и каждое отношение R в функцию, определенную как R(x, y) = (y, x) ∈ R для всех x ∈ X. Замечая, что булеаны являются полными решетками относительно включения, функции между ними, возникающие таким образом из некоторого отношения R, являются точно отображениями, сохраняющими супремум. Следовательно, Rel эквивалентна полной подкатегории категории Sup полных решеток и их отображений, сохраняющих супремум. И наоборот, исходя из этого эквивалента, мы можем восстановить U как композицию Rel → Sup → Set забывчивого функтора для Sup с этим вложением Rel в Sup. Категория Setop может быть встроена в Rel, представляя каждое множество как себя и каждую функцию f : X → Y как отношение из Y в X, образованное как множество пар (f(x), x) для всех x ∈ X; следовательно, Setop конкретизируема. Забывчивый функтор, возникающий таким образом, является контравариантным функтором power set Setop → Set. Из предыдущего примера следует, что противоположность любой конкретизируемой категории C снова конкретизируема, так как если U — верный функтор C → Set, то Cop может быть снабжена композицией Cop → Setop → Set. Если C — любая малая категория, то существует верный функтор P : SetCop → Set, который отображает предпучок X в копроизведение. Составляя это с вложением Йонеды Y : C → SetCop, получаем верный функтор C → Set. По техническим причинам категория Ban1 пространств Банаха и линейных сжатий часто снабжается не «очевидным» забывчивым функтором, а функтором U1 : Ban1 → Set, который отображает пространство Банаха в его (замкнутый) единичный шар. Категория Cat, объекты которой — малые категории, а морфизмы — функторы, может быть конкретизирована, отправляя каждую категорию C в множество, содержащее ее объекты и морфизмы. Функторы можно просто рассматривать как функции, действующие на объекты и морфизмы.

Any group G may be regarded as an "abstract" category with one arbitrary object, , and one morphism for each element of the group. This would not be counted as concrete according to the intuitive notion described at the top of this article. But every faithful G set (equivalently, every representation of G as a group of permutations) determines a faithful functor G → Set. Since every group acts faithfully on itself, G can be made into a concrete category in at least one way. Similarly, any poset P may be regarded as an abstract category with a unique arrow x → y whenever x ≤ y. This can be made concrete by defining a functor D : P → Set which maps each object x to and each arrow x → y to the inclusion map The category Rel whose objects are sets and whose morphisms are relations can be made concrete by taking U to map each set X to its power set and each relation to the function defined by Noting that power sets are complete lattices under inclusion, those functions between them arising from some relation R in this way are exactly the supremum preserving maps. Hence Rel is equivalent to a full subcategory of the category Sup of complete lattices and their sup preserving maps. Conversely, starting from this equivalence we can recover U as the composite Rel → Sup → Set of the forgetful functor for Sup with this embedding of Rel in Sup. The category Setop can be embedded into Rel by representing each set as itself and each function f: X → Y as the relation from Y to X formed as the set of pairs (f(x), x) for all x ∈ X; hence Setop is concretizable. The forgetful functor which arises in this way is the contravariant powerset functor Setop → Set. It follows from the previous example that the opposite of any concretizable category C is again concretizable, since if U is a faithful functor C → Set then Cop may be equipped with the composite Cop → Setop → Set. If C is any small category, then there exists a faithful functor P : SetCop → Set which maps a presheaf X to the coproduct By composing this with the Yoneda embedding Y:C → SetCop one obtains a faithful functor C → Set. For technical reasons, the category Ban1 of Banach spaces and linear contractions is often equipped not with the "obvious" forgetful functor but the functor U1 : Ban1 → Set which maps a Banach space to its (closed) unit ball. The category Cat whose objects are small categories and whose morphisms are functors can be made concrete by sending each category C to the set containing its objects and morphisms. Functors can be simply viewed as functions acting on the objects and morphisms.

Контрпримеры

Категория hTop, где объекты — топологические пространства, а морфизмы — классы гомотопии непрерывных функций, является примером категории, которая не является конкретизируемой. Хотя объекты являются множествами (с дополнительной структурой), морфизмы — это не сами функции между ними, а классы функций. Тот факт, что не существует верного функтора из hTop в Set, впервые был доказан Питером Фрейдом. В той же статье Фрейд ссылается на более ранний результат о том, что категория "малых категорий и классов естественных эквивалентностей функторов" также не является конкретизируемой.

Относительная конкретность

В некоторых областях теории категорий, особенно в теории топосов, принято заменять категорию Set другой категорией X, часто называемой базовой категорией. В связи с этим, уместно называть пару (C, U), где C – категория, а U – верный функтор C → X, конкретной категорией над X. Например, модели теории с N сортами можно рассматривать как образующие конкретную категорию над SetN. В этом контексте конкретная категория над Set иногда называется конструкцией.