Введение

Операция над матрицей, которая отражает её относительно главной диагонали. Транспонирование матриц и транспонирование линейного отображения.

В линейной алгебре транспонированием матрицы называется оператор, отражающий матрицу относительно её главной диагонали; то есть он меняет местами индексы строк и столбцов матрицы 'A', в результате чего получается другая матрица, часто обозначаемая 'Aᵀ' (среди других обозначений). Транспонирование матрицы было введено в 1858 году британским математиком Артуром Кэли. В случае логической матрицы, представляющей бинарное отношение R, транспонирование соответствует обратному отношению Rᵀ.

Внедрение матричной транспозиции на компьютерах

На компьютере часто можно избежать явной транспонирования матрицы в памяти, просто обращаясь к тем же данным в другом порядке. Например, программные библиотеки для линейной алгебры, такие как BLAS, обычно предоставляют возможность указать, что определенные матрицы следует интерпретировать в транспонированном порядке, чтобы избежать необходимости перемещения данных. Однако существуют ситуации, когда физическое переупорядочивание матрицы в памяти в транспонированный порядок необходимо или желательно. Например, если матрица хранится в порядке строк, строки матрицы располагаются в памяти последовательно, а столбцы – разрозненно. Если повторяющиеся операции необходимо выполнять над столбцами, например, в алгоритме быстрого преобразования Фурье, транспонирование матрицы в памяти (для обеспечения последовательного расположения столбцов) может повысить производительность за счет увеличения локальности памяти. В идеале хотелось бы транспонировать матрицу с минимальным дополнительным объемом памяти. Это приводит к задаче транспонирования матрицы размера n × m на месте, с дополнительным объемом памяти O(1) или, в худшем случае, значительно меньшим, чем mn. Для n ≠ m это включает в себя сложную перестановку элементов данных, которую нетривиально реализовать на месте. Поэтому эффективное транспонирование матрицы на месте было предметом многочисленных научных публикаций в области компьютерных наук, начиная с конца 1950-х годов, и было разработано несколько алгоритмов.

Транспозиции линейных карт и билинейных форм

Поскольку основное применение матриц — представление линейных отображений между конечномерными векторными пространствами, транспонирование — это операция над матрицами, которую можно рассматривать как представление некоторой операции над линейными отображениями. Это приводит к гораздо более общему определению транспонирования, которое применимо к любому линейному отображению, даже если линейные отображения не могут быть представлены матрицами (например, в случае бесконечномерных векторных пространств). В конечномерном случае матрица, представляющая транспонированное линейное отображение, является транспонированием матрицы, представляющей исходное линейное отображение, независимо от выбора базиса.

Транспозиция билинеарной формы

Каждое линейное отображение в двойственное пространство u : X → X^(#) определяет билинейную форму B : X × X → F, с соотношением. Определяя транспонирование этой билинейной формы как билинейную форму tB, определяемую транспонированным отображением ^(t)u : X^(##) → X^(#), то есть, мы находим, что здесь Ψ является естественным гомоморфизмом X → X^(##) в двойное двойственное пространство.