Введение

В математике симплектическая матрица — это матрица с вещественными элементами, удовлетворяющая условию

где обозначает транспонирование, а — фиксированная невырожденная, кососимметричная матрица. Это определение можно расширить на матрицы с элементами в других полях, таких как комплексные числа, конечные поля, p-адические числа и поля функций. Обычно выбирают блочную матрицу вида

где — единичная матрица. Матрица имеет определитель, а её обратная матрица равна .

Генераторы для симплектических матриц

Каждая симплектическая матрица имеет определитель 1, и симплектические матрицы с вещественными элементами образуют подгруппу общей линейной группы при умножении матриц, поскольку симплектичность – это свойство, сохраняющееся при умножении матриц. Топологически эта симплектическая группа является связной некомпактной вещественной группой Ли вещественной размерности 2n и обозначается Sp(2n). Симплектическая группа может быть определена как множество линейных преобразований, сохраняющих симплектическую форму вещественного симплектического векторного пространства. Эта симплектическая группа имеет выделенный набор образующих, который можно использовать для нахождения всех возможных симплектических матриц. Это включает в себя следующие множества, где S – множество симметричных матриц. Тогда Sp(2n) порождается множеством матриц setp. 2. Иными словами, любая симплектическая матрица может быть построена путем умножения матриц из S и из этого множества, вместе с некоторой степенью матрицы J.

Определяющие свойства

Из определения легко следует, что определитель любой симплектической матрицы равен ±1. На самом деле, оказывается, что определитель всегда равен +1 для любого поля. Один из способов увидеть это – использование пфаффиана и тождества

Поскольку и , то
Если основное поле вещественное или комплексное, то это также можно показать, разложив неравенство .

Комплексные матрицы

Если вместо этого M является матрицей 2n × 2n с комплексными элементами, то определение не является общепринятым в литературе. Многие авторы изменяют вышеприведенное определение следующим образом:

где M* обозначает сопряжённо-транспонированную матрицу M. В этом случае определитель может не равняться 1, но его абсолютная величина будет равна 1. В случае 2×2 (n=1) матрица M будет произведением вещественной симплектической матрицы и комплексного числа с абсолютной величиной 1. Другие авторы сохраняют исходное определение для комплексных матриц и называют такие матрицы сопряжённо симплектическими.

Приложения

Преобразования, описываемые симплектическими матрицами, играют важную роль в квантовой оптике и в теории квантовой информации с непрерывными переменными. Например, симплектические матрицы могут использоваться для описания гауссовских (Боголюбовских) преобразований квантового состояния света. Декомпозиция Блоха — Мессиа означает, что любое такое гауссовское преобразование можно представить как комбинацию двух пассивных линейно-оптических интерферометров (соответствующих ортогональным матрицам O и O') с чередующимся слоем активных нелинейных преобразований сжатия (описываемых матрицей D). При этом, необходимость в последовательном применении активных преобразований сжатия отпадает, если в качестве исходного ресурса имеются два двухмодовых сжатых вакуумных состояния.