Некоррелированные случайные величины: определение и свойства
Uncorrelatedness (probability theory)
Некоррелированные случайные величины: определение, нулевая ковариация, отсутствие линейной связи. Различия между некоррелированностью и ортогональностью.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В теории вероятностей и статистике две случайные величины, принимающие действительные значения, , , называются некоррелированными, если их ковариация, , равна нулю. Если две переменные некоррелированы, то между ними отсутствует линейная зависимость. Некоррелированные случайные величины имеют коэффициент корреляции Пирсона, при его существовании, равный нулю, за исключением тривиального случая, когда одна из переменных имеет нулевую дисперсию (является константой). В этом случае корреляция не определена. В общем случае, некоррелированность не тождественна ортогональности, за исключением частного случая, когда хотя бы одна из двух случайных величин имеет математическое ожидание, равное 0. В этом случае ковариация является математическим ожиданием произведения, и и некоррелированы тогда и только тогда, когда . Если и независимы и имеют конечные вторые моменты, то они некоррелированы. Однако, не все некоррелированные переменные являются независимыми.
In probability theory and statistics, two real valued random variables, , , are said to be uncorrelated if their covariance, , is zero. If two variables are uncorrelated, there is no linear relationship between them. Uncorrelated random variables have a Pearson correlation coefficient, when it exists, of zero, except in the trivial case when either variable has zero variance (is a constant). In this case the correlation is undefined. In general, uncorrelatedness is not the same as orthogonality, except in the special case where at least one of the two random variables has an expected value of 0. In this case, the covariance is the expectation of the product, and and are uncorrelated if and only if
If and are independent, with finite second moments, then they are uncorrelated. However, not all uncorrelated variables are independent.
Определение двух реальных случайных переменных
Две случайные величины называются некоррелированными, если их ковариация равна нулю. Формально:
Two random variables are called uncorrelated if their covariance is zero. Formally:
Определение двух сложных случайных переменных
Две комплексные случайные величины называются некоррелированными, если их ковариация и псевдоковариация равны нулю, то есть.
Two complex random variables are called uncorrelated if their covariance and their pseudo covariance is zero, i. e.
Определение для более чем двух случайных переменных
Набор из двух или более случайных величин называется некоррелированным, если каждая пара из них некоррелирована. Это эквивалентно требованию, чтобы все недиагональные элементы матрицы автоковариации случайного вектора были равны нулю. Матрица автоковариации определяется как:
A set of two or more random variables is called uncorrelated if each pair of them is uncorrelated. This is equivalent to the requirement that the non diagonal elements of the autocovariance matrix of the random vector are all zero. The autocovariance matrix is defined as:
Когда некореляция подразумевает независимость
Есть случаи, когда отсутствие корреляции действительно подразумевает независимость. Один из таких случаев возникает, когда обе случайные величины принимают только два значения (и, следовательно, каждая из них может быть линейно преобразована к распределению Бернулли). Более того, две совместно нормально распределённые случайные величины независимы, если они некоррелированы, однако это неверно для переменных, имеющих нормальные краевые распределения и являющихся некоррелированными, но при этом имеющих совместное распределение, отличное от совместного нормального (см. "Нормально распределённые и некоррелированные не подразумевают независимые").
There are cases in which uncorrelatedness does imply independence. One of these cases is the one in which both random variables are two valued (so each can be linearly transformed to have a Bernoulli distribution). Further, two jointly normally distributed random variables are independent if they are uncorrelated, although this does not hold for variables whose marginal distributions are normal and uncorrelated but whose joint distribution is not joint normal (see Normally distributed and uncorrelated does not imply independent).
Несоответствующие стохастические процессы
Два стохастических процесса и называются некоррелированными, если их взаимная ковариация равна нулю для всех моментов времени. Формально:
Two stochastic processes and are called uncorrelated if their cross covariance is zero for all times. Formally: