Кіріспе
Математикада симплектикалық матрица — нақты сандардан құралған матрица, ол келесі шартты қанағаттандырады:
мұндағы — матрицаның транспозі, ал — белгілі бір сингуляр емес, кососимметриялық матрица. Бұл анықтаманы басқа да өрістердегі элементтері бар матрицаларға, мысалы, кешенді сандар, шекті өрістер, p-адық сандар және функциялық өрістерге де қолдануға болады. Әдетте блок матрица ретінде таңдалады:
мұндағы — бірлік матрица. Матрицаның анықтамасы тең, ал оның кері матрицасы .
Симплектикалық матрицалар генераторлары
Әрбір симплектикалық матрицаның детерминанты 1-ге тең, ал нақты элементтері бар симплектикалық матрицалар матрица көбейту бойынша жалпы сызықтық топтың кіші тобын құрайды, себебі симплектикалық болу қасиеті матрица көбейту кезінде сақталады. Топологиялық тұрғыдан алғанда, бұл симплектикалық топ – байланысқан, шексіз емес, нақты өлшемді нақты Ли тобы және ол Sp(2n) деп белгіленеді. Симплектикалық топты нақты симплектикалық векторлық кеңістіктің симплектикалық формасын сақтайтын сызықтық түрлендірулер жиыны ретінде анықтауға болады. Бұл симплектикалық топта барлық мүмкін симплектикалық матрицаларды табуға қолданылатын генераторлардың ерекше жиынтығы бар. Ол симметриялық матрицалар жиынын қамтитын келесі жиындарды қамтиды:
where is the set of symmetric matrices. Then, is generated by the setp. 2
of matrices. In other words, any symplectic matrix can be constructed by multiplying matrices in and together, along with some power of .
мұнда S – симметриялық матрицалар жиыны. Содан кейін, Sp(2n) жиыны матрицалар жиынымен генерацияланады. 2. Басқаша айтқанда, кез келген симплектикалық матрицаны S және H матрицаларын бір-бірімен көбейту арқылы, сондай-ақ P матрицасының белгілі бір дәрежесін қосу арқылы құрастыруға болады.
where is the set of symmetric matrices. Then, is generated by the setp. 2
of matrices. In other words, any symplectic matrix can be constructed by multiplying matrices in and together, along with some power of .
Анықтамалық қасиеттер
Анықтамасынан оңай көрінеді, кез келген симплектикалық матрицаның детерминанты ±1-ге тең. Шындығында, кез келген өріс үшін детерминант әрқашан +1 болады. Мұны Пфаффианды және мына теңдікті пайдаланып көрсетуге болады:
Егер және болса, онда
Негізгі өріс нақты немесе кешенді болған жағдайда, бұл теңсіздікті көбейткіштерге жіктеу арқылы да көрсетуге болады.
When the underlying field is real or complex, one can also show this by factoring the inequality .
Күрделі матрицалар
Егер M күрделі сандардан құралған 2n × 2n матрица болса, онда оның анықтамасы әдебиетте біркелкі емес. Көптеген авторлар жоғарыдағы анықтаманы M* – M матрицасының конъюгатты транспозын білдіретіндей етіп өзгертеді. Мұндай жағдайда детерминант 1-ге тең болмауы мүмкін, бірақ оның абсолюттік шамасы 1-ге тең болады. 2×2 жағдайында (n=1) M нақты симплектикалық матрица мен абсолюттік шамасы 1-ге тең күрделі санның көбейтіндісі болады. Ал кейбір авторлар күрделі матрицалар үшін бастапқы анықтаманы сақтап, конъюгатты симплектикалық шартын қанағаттандыратын матрицалар деп атайды.
where M* denotes the conjugate transpose of M. In this case, the determinant may not be 1, but will have absolute value 1. In the 2×2 case (n=1), M will be the product of a real symplectic matrix and a complex number of absolute value 1. Other authors retain the definition for complex matrices and call matrices satisfying conjugate symplectic.
Қолданбалар
Симплектикалық матрицалармен сипатталатын трансформациялар кванттық оптика және үздіксіз өзгермелі кванттық ақпарат теориясында маңызды рөл атқарады. Мысалы, симплектикалық матрицалар жарықтың кванттық күйінің Гаусс (Боголюбов) түрлендірулерін сипаттау үшін қолданылуы мүмкін. Блох-Мессия ыдырауы өз кезегінде, кез келген Гаусс түрлендіруін екі пассивті сызықтық оптикалық интерферометр жиынтығы ретінде бейнелеуге мүмкіндік береді (О және О' ортогональды матрицаларына сәйкес), олар белсенді сызықтық емес сығу түрлендірулерінің қабатымен (D матрицасы арқылы берілген) араласады. Шындығында, егер екі режимді сығымдалған вакуумдық күйлер тек бастапқы ресурс ретінде қолжетімді болса, онда мұндай тікелей белсенді сығу түрлендірулерінің қажеттілігін жоюға болады.