Введение

Расширение элементов политопа для формирования новой фигуры

В геометрии, стellation (звездообразование) — это процесс расширения многоугольника в двух измерениях, полиэдра в трех измерениях или, в общем случае, политопа в n измерениях для формирования новой фигуры. Начиная с исходной фигуры, процесс расширяет определенные элементы, такие как ее ребра или плоскости граней, обычно симметрично, пока они снова не встретятся, образуя замкнутую границу новой фигуры. Новая фигура является стellation (звездообразованием) исходной фигуры. Слово «stellation» (звездообразование) происходит от латинского stellātus, что означает «звездный», которое, в свою очередь, происходит от латинского stella, что означает «звезда». Stellation (звездообразование) является обратным или двойственным процессом к фасетированию.

Определение Кеплера

В 1619 году Кеплер определил звездообразование для многоугольников и многогранников как процесс продолжения ребер или граней до их пересечения, образующего новый многоугольник или многогранник. Он выполнил звездообразование правильного додекаэдра, получив два правильных звездных многогранника – малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр. Он также выполнил звездообразование правильного октаэдра, получив stella octangula, правильное соединение двух тетраэдров.

Звездочные многоугольники

Звездное симметричное построение правильного многоугольника создает правильный звездный многоугольник или многоугольное объединение. Эти многоугольники характеризуются числом m, показывающим, сколько раз граница многоугольника обходит центр фигуры. Как и все правильные многоугольники, их вершины лежат на окружности. Число m также соответствует количеству вершин на окружности, необходимых для перехода от одного конца данного ребра к другому, начиная с 1. Правильный звездный многоугольник представляется символом Шлефли {n/m}, где n – число вершин, m – шаг, используемый для последовательного соединения ребер вокруг него, а m и n взаимно просты (не имеют общих делителей). Случай m = 1 дает выпуклый многоугольник {n}. Кроме того, m должно быть меньше половины n; в противном случае линии будут либо параллельны, либо расходиться, что не позволит фигуре замкнуться. Если у n и m есть общий делитель, то фигура является правильным объединением. Например, {6/2} – это правильное объединение двух треугольников {3} или гексаграмма, а {10/4} – объединение двух пентаграмм {5/2}. Некоторые авторы используют символ Шлефли для таких правильных объединений. Другие рассматривают символ как указывающий на единый путь, который m раз обвит вокруг вершин, так что одно ребро накладывается на другое, и каждая вершина посещается m раз. В этом случае для объединения может использоваться модифицированный символ, например 2{3} для гексаграммы и 2{5/2} для правильного объединения двух пентаграмм. Правильный n-угольник имеет звездообразований, если n четно (при условии, что объединения множества вырожденных дигонов не рассматриваются), и звездообразований, если n нечетно. Пятиугольная звезда {5/2} – единственное звездообразование пятиугольника. Гексаграмма {6/2} – звездообразование шестиугольника и объединение двух треугольников. Энеагон (нонагон) {9} имеет 3 энеаграмматические формы: {9/2}, {9/3}, {9/4}, причем {9/3} является объединением 3 треугольников. Гептагон имеет две гептаграмматические формы: {7/2}, {7/3}. Как и гептагон, октагон также имеет два октаграмматических звездообразования, одно из которых, {8/3}, является звездным многоугольником, а другое, {8/2}, – объединением двух квадратов.

Другие правила для звездочки

Правила Миллера ни в коем случае не являются "правильным" способом перечисления звездных форм. Они основаны на комбинировании частей внутри звездной диаграммы определенным образом и не учитывают топологию образующихся граней. Поэтому существуют вполне разумные звездные формы икосаэдра, которые не входят в их список – одна из них была обнаружена Джеймсом Бриджем в 1974 году, а некоторые "звездные формы Миллера" вызывают сомнения в том, следует ли вообще считать их звездными формами. Одна из икосаэдрических моделей состоит из нескольких совершенно несвязанных ячеек, симметрично расположенных в пространстве. Альтернативный набор правил, учитывающий это, пока не разработан полностью. Наибольший прогресс был достигнут, исходя из представления о том, что звездное образование является обратным или двойственным процессу фасетированию, при котором части удаляются из многогранника без создания новых вершин. Для каждой звездной формы многогранника существует двойственное фасетирование его двойственного многогранника, и наоборот. Изучая фасетирование двойственного многогранника, мы получаем представление о звездных формах исходного. Бридж обнаружил новую звездную форму икосаэдра, изучая фасетирование его двойственного многогранника – додекаэдра. Некоторые исследователи многогранников придерживаются точки зрения, что звездное образование – это двусторонний процесс, так что любые два многогранника, имеющие общие плоскости граней, являются звездными формами друг друга. Это понятно, если разрабатывается общий алгоритм, подходящий для использования в компьютерной программе, но в противном случае это не особенно полезно. Многие примеры звездных форм можно найти в списке моделей звездных форм Веннингера.

Звездочные политопы

Процесс стэлляции применим и к политопам более высокой размерности. Диаграмма стэлляции n-мерного политопа существует в (n − 1)-мерной гиперплоскости данной грани. Например, в 4-мерном пространстве, великая грандиозная стэлляция 120-ячейки является конечной стэлляцией правильной 120-ячейки, являющейся 4-мерным политопом.

Название созвездий

Первым систематическим наименованием звездных многогранников было наименование, данное Кейли регулярным звездным многогранникам (в настоящее время известные как многогранники Кеплера — Пуансо). Эта система была широко, но не всегда последовательно, принята для других многогранников и высших политопов. Джон Конвей разработал терминологию для звездных многоугольников, полиэдров и полихор (Coxeter 1974). В этой системе процесс продолжения ребер для создания новой фигуры называется стелляцией, процесс продолжения граней — величением, а процесс продолжения ячеек — агграндизацией (последнее не применимо к полиэдрам). Это позволяет систематически использовать такие слова, как «стеллированный», «великий» и «грандиозный» при создании названий для полученных фигур. Например, Конвей предложил некоторые незначительные изменения в названиях многогранников Кеплера — Пуансо.

Звездное небо до бесконечности

Веннингер заметил, что у некоторых многогранников, таких как куб, нет конечных звездных форм. Однако звездные ячейки можно построить в виде призм, простирающихся до бесконечности. Фигура, состоящая из этих призм, может быть названа бесконечной звездной формой. Однако, согласно большинству определений многогранника, эти звездные формы строго говоря не являются многогранниками. Фигуры Веннингера возникают как двойственные к однородным полумногогранникам, где грани, проходящие через центр, переходят в вершины "на бесконечности".

От математики к искусству

Наряду со своим вкладом в математику, Магнус Веннингер известен в контексте взаимосвязи математики и искусства созданием "особенно изящных" моделей сложных звёздчатых многогранников. Итальянский художник эпохи Возрождения Паоло Уччелло создал мозаичный пол, изображающий небольшой звёздчатый додекаэдр в базилике Святого Марка в Венеции, около 1430 года. Изображение Уччелло было использовано в качестве символа Венецианской биеннале в 1986 году, посвящённой теме "Искусство и наука". Та же звёздчатая форма лежит в основе двух литографий М.К. Эшера: "Контраст (Порядок и Хаос)", 1950 года, и "Гравитация", 1952 года.