Введение
Условная независимость взаимозаменяемых наблюдений
В теории вероятностей теорема де Финетти утверждает, что взаимозаменяемые наблюдения условно независимы относительно некоторой латентной переменной. Эпистемическое распределение вероятностей может быть назначено этой переменной. Названа в честь Бруно де Финетти. Для частного случая взаимозаменяемой последовательности случайных величин Бернулли она утверждает, что такая последовательность является «смесью» последовательностей независимых и одинаково распределённых (i. i. d.) случайных величин Бернулли. Последовательность случайных величин называется взаимозаменяемой, если совместное распределение последовательности не изменяется при любой перестановке индексов. Хотя переменные взаимозаменяемой последовательности сами по себе не являются независимыми, а лишь взаимозаменяемыми, существует лежащее в основе семейство i. i. d. случайных величин. То есть, существуют базовые, как правило, ненаблюдаемые величины, которые являются i. i. d. – взаимозаменяемые последовательности представляют собой смеси i. i. d. последовательностей.
In probability theory, de Finetti's theorem states that exchangeable observations are conditionally independent relative to some latent variable. An epistemic probability distribution could then be assigned to this variable. It is named in honor of Bruno de Finetti. For the special case of an exchangeable sequence of Bernoulli random variables it states that such a sequence is a "mixture" of sequences of independent and identically distributed (i. i. d.) Bernoulli random variables. A sequence of random variables is called exchangeable if the joint distribution of the sequence is unchanged by any permutation of the indices. While the variables of the exchangeable sequence are not themselves independent, only exchangeable, there is an underlying family of i. i. d. random variables. That is, there are underlying, generally unobservable, quantities that are i. i. d. – exchangeable sequences are mixtures of i. i. d. sequences.
Другой способ формулирования теоремы
Предположим, что это бесконечная взаимозаменяемая последовательность случайных переменных Бернулли. Тогда они условно независимы и одинаково распределены при условии взаимозаменяемой сигма-алгебры (то есть сигма-алгебры, состоящей из событий, измеримых относительно этой последовательности и инвариантных относительно конечных перестановок индексов).
Расширения
Версии теоремы де Финетти для конечных взаимозаменяемых последовательностей и для взаимозаменяемых последовательностей Маркова были доказаны Диаконисом и Фридманом, а также Кернсом и Сзекели. Два понятия частичной взаимозаменяемости массивов, известные как раздельная и совместная взаимозаменяемость, привели к расширениям теоремы де Финетти для массивов, предложенным Алдосом и Гувером. Вычислимая теорема де Финетти показывает, что если взаимозаменяемая последовательность вещественных случайных величин задана компьютерной программой, то программу, которая генерирует выборки из смешивающей меры, можно автоматически восстановить. В рамках свободной вероятности существует некомутативное расширение теоремы де Финетти, характеризующее некомутативные последовательности, инвариантные относительно квантовых перестановок. Расширения теоремы де Финетти на квантовые состояния оказались полезными в квантовой информатике, в таких областях, как квантовое распределение ключей и обнаружение запутанности. Многомерное расширение теоремы де Финетти может быть использовано для вывода статистики Бозе — Эйнштейна из статистики классических (т. е. независимых) частиц.