Введение

Тип математического выражения
менее элементарные аспекты предмета
В математике, полином — это математическое выражение, состоящее из неопределённостей (также называемых переменными) и коэффициентов, включающее только операции сложения, вычитания, умножения и положительные целые степени переменных. Примером полинома с одной неопределённостью x является x² − 4x + 7. Пример с тремя неопределённостями — x³ + 2xyz² − yz + 1. Полиномы встречаются во многих областях математики и науки. Например, они используются для составления полиномиальных уравнений, которые описывают широкий спектр задач, от простых текстовых задач до сложных научных проблем; они используются для определения полиномиальных функций, которые применяются в различных областях, начиная от базовой химии и физики до экономики и социальных наук; и они используются в математическом анализе и численном анализе для аппроксимации других функций. В высшей математике полиномы используются для построения полиномиальных колец и алгебраических многообразий, являющихся центральными понятиями в алгебре и алгебраической геометрии.

Этимология

Слово "полином" объединяет два различных корня: греческое "поли", означающее "многие", и латинское "номен", или "имя". Оно произошло от термина "бином", путем замены латинского корня "bi" на греческое "поли". То есть, это означает сумму многих слагаемых (многих мономов). Слово "полином" впервые было использовано в 17 веке.

Обозначение и терминология

Х, встречающееся в многочлене, обычно называют переменной или неопределённым элементом. Когда многочлен рассматривается как выражение, x – это фиксированный символ, не имеющий конкретного значения (его значение «неопределённо»). Однако, когда рассматривается функция, заданная многочленом, то x представляет собой аргумент функции и поэтому называется «переменной». Многие авторы используют эти два термина как взаимозаменяемые. Многочлен P относительно неопределённого элемента x обычно обозначается либо как P, либо как P(x). Формально, имя многочлена – P, а не P(x), но использование функциональной нотации P(x) восходит ко времени, когда различие между многочленом и соответствующей функцией было нечётким. Более того, функциональная нотация часто удобна для указания многочлена и его неопределённого элемента в одной фразе. Например, «пусть P(x) – многочлен» – это сокращение от «пусть P – многочлен относительно неопределённого элемента x». С другой стороны, когда нет необходимости акцентировать внимание на имени неопределённого элемента, многие формулы становятся значительно проще и легче для чтения, если имя (или имена) неопределённого (или неопределённых) элемента не появляется при каждом упоминании многочлена. Неоднозначность, связанная с наличием двух обозначений для одного и того же математического объекта, может быть формально разрешена, рассмотрев общее значение функциональной нотации для многочленов. Если a обозначает число, переменную, другой многочлен или, в более общем случае, любое выражение, то P(a) по определению обозначает результат подстановки a вместо x в P. Таким образом, многочлен P определяет функцию, которая является полиномиальной функцией, связанной с P. Часто, используя эту нотацию, предполагается, что a – число. Однако её можно использовать в любой области, где определены сложение и умножение (то есть в любом кольце). В частности, если a – многочлен, то P(a) также является многочленом. Более конкретно, когда a – неопределённый элемент x, то образ x при этой функции – сам многочлен P (подстановка x вместо x ничего не меняет). Другими словами, это формально обосновывает существование двух обозначений для одного и того же многочлена.

Решение уравнений

Корень ненулевого многочлена одной переменной P – это значение a из x, такое, что. Другими словами, корень P – это решение многочленного уравнения или нуль многочленной функции, определяемой P. В случае нулевого многочлена каждое число является нулем соответствующей функции, и понятие корня редко рассматривается. Число a является корнем многочлена P, если и только если линейный многочлен x − a делит P, то есть если существует другой многочлен Q, такой что P = (x − a) Q. Может случиться, что степень (большая 1) многочлена (x − a) делит P; в этом случае a является кратным корнем P, а в противном случае a является простым корнем P. Если P – ненулевой многочлен, существует наивысшая степень m, такая что (x − a)^m делит P, которая называется кратностью корня a в P. Количество корней ненулевого многочлена P, считаемых с учетом их кратностей, не может превышать степень P и равно этой степени, если рассматриваются все комплексные корни (это следствие фундаментальной теоремы алгебры). Коэффициенты многочлена и его корни связаны формулами Виета. Некоторые многочлены, такие как x^(2) + 1, не имеют корней среди действительных чисел. Если, однако, множество допустимых решений расширено до комплексных чисел, каждый многочлен, не являющийся константой, имеет по крайней мере один корень; это фундаментальная теорема алгебры. Последовательно деля на множители x − a, можно увидеть, что любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть записан как постоянный (его старший коэффициент), умноженный на произведение таких многочленных факторов степени 1; как следствие, число (комплексных) корней, считаемых с учетом их кратностей, точно равно степени многочлена. Может быть несколько значений термина "решение уравнения". Можно выразить решения в виде явных чисел; например, единственное решение уравнения 2x − 1 = 0 равно 1/2. Это, как правило, невозможно для уравнений степени выше первой, и с древних времен математики искали способы выразить решения в виде алгебраических выражений; например, золотое сечение является единственным положительным решением уравнения. В древности они преуспели только для степеней один и два. Для квадратных уравнений квадратная формула предоставляет такие выражения решений. С XVI века аналогичные формулы (использующие кубические корни в дополнение к квадратным корням), хотя и гораздо более сложные, известны для уравнений третьей и четвертой степени (см. кубическое уравнение и уравнение четвертой степени). Но формулы для степеней 5 и выше ускользали от исследователей на протяжении нескольких столетий. В 1824 году Нильс Хенрик Абель доказал поразительный результат, что существуют уравнения 5-й степени, решения которых нельзя выразить конечной формулой, включающей только арифметические операции и радикалы (см. теорему Абеля — Руффини). В 1830 году Эварист Галуа доказал, что большинство уравнений степени выше четырех нельзя решить с помощью радикалов, и показал, что для каждого уравнения можно определить, разрешимо ли оно с помощью радикалов, и, если да, решить его. Этот результат ознаменовал начало теории Галуа и теории групп, двух важных разделов современной алгебры. Сам Галуа отметил, что вычисления, подразумеваемые его методом, были непрактичны. Тем не менее, формулы для разрешимых уравнений 5-й и 6-й степеней были опубликованы (см. функция пятой степени и уравнение шестой степени). Когда нет алгебраического выражения для корней, и когда такое выражение существует, но слишком сложно, чтобы быть полезным, единственный способ решения – вычислить численные приближения решений. Существует множество методов для этого; некоторые из них ограничены многочленами, а другие могут применяться к любой непрерывной функции. Наиболее эффективные алгоритмы позволяют легко решать (на компьютере) полиномиальные уравнения степени выше 1000 (см. алгоритм поиска корней). Для многочленов с более чем одной переменной комбинации значений переменных, для которых многочленная функция принимает значение ноль, обычно называются нулями, а не "корнями". Изучение множеств нулей многочленов является предметом алгебраической геометрии. Для системы полиномиальных уравнений с несколькими неизвестными существуют алгоритмы для определения, имеет ли она конечное число комплексных решений, и, если это число конечно, для вычисления этих решений. См. система полиномиальных уравнений. Особый случай, когда все многочлены имеют степень один, называется системой линейных уравнений, для которой существует другой набор различных методов решения, включая классическое исключение Гаусса. Полиномиальное уравнение, для которого интересуют только целочисленные решения, называется диофантовым уравнением. Решение диофантовых уравнений, как правило, является очень сложной задачей. Доказано, что не существует общего алгоритма для их решения или даже для определения, является ли множество решений пустым (см. десятая проблема Гильберта). Некоторые из самых известных проблем, решенных за последние пятьдесят лет, связаны с диофантовыми уравнениями, такие как последняя теорема Ферма.

Полиномиальные выражения

Многочлены, в которых вместо переменных подставляются другие математические объекты, часто рассматриваются и иногда имеют специальное наименование.

Тригонометрические многочлены

Тригонометрический многочлен — это конечная линейная комбинация функций sin(nx) и cos(nx), где n принимает значения одного или нескольких натуральных чисел. Коэффициенты могут быть выбраны действительными для вещественнозначных функций. Если sin(nx) и cos(nx) разложить по sin(x) и cos(x), то тригонометрический многочлен станет многочленом относительно двух переменных sin(x) и cos(x) (используя формулы кратных углов из списка тригонометрических тождеств). Обратно, любой многочлен относительно sin(x) и cos(x) можно, с помощью формул преобразования произведения в сумму, представить в виде линейной комбинации функций sin(nx) и cos(nx). Эта эквивалентность объясняет, почему такие линейные комбинации называют многочленами. При комплексных коэффициентах такая функция не отличается от конечного ряда Фурье. Тригонометрические многочлены широко используются, например, в тригонометрической интерполяции для интерполяции периодических функций, а также в дискретном преобразовании Фурье.

Экспоненциальные полиномы

Двумерный многочлен, в котором вторая переменная заменена на экспоненциальную функцию от первой переменной, например P(x, e^x), может называться экспоненциальным многочленом.

Рациональные функции

Рациональная дробь — это частное (алгебраическая дробь) двух многочленов. Любое алгебраическое выражение, которое можно представить в виде рациональной дроби, является рациональной функцией. В то время как полиномиальные функции определены для всех значений переменных, рациональная функция определена только для значений переменных, при которых знаменатель не равен нулю. Рациональные дроби включают полиномы Лорана, но не ограничивают знаменатели степенями неопределённости.

Полиномы Лоранта

Полиномы Лорана похожи на обычные полиномы, но допускают отрицательные степени переменных.

Серия мощности

Формальные степенные ряды похожи на многочлены, но допускают бесконечное количество ненулевых членов, поэтому не имеют конечной степени. В отличие от многочленов, их обычно нельзя записать явно и полностью (так же, как и иррациональные числа), но правила работы с их членами такие же, как и для многочленов. Неформальные степенные ряды также обобщают многочлены, но произведение двух степенных рядов может не сходиться.