Введение

Возможность последовательного определения "по часовой стрелке" в математическом пространстве

В математике ориентабельность — это свойство некоторых топологических пространств, таких как вещественные векторные пространства, евклидовы пространства, поверхности и, в более общем случае, многообразия, которое позволяет последовательно определить понятия "по часовой стрелке" и "против часовой стрелки". Пространство называется ориентабельным, если такое последовательное определение существует. В этом случае существует два возможных определения, и выбор между ними является ориентацией пространства. Вещественные векторные пространства, евклидовы пространства и сферы являются ориентабельными. Пространство называется неориентабельным, если при обходе по некоторым петлям в нем и возвращении в исходную точку направление "по часовой стрелке" меняется на "против часовой стрелки". Это означает, что геометрическая фигура, например, движущаяся непрерывно вдоль такой петли, превращается в свое зеркальное отражение. Полоса Мёбиуса является примером неориентабельного пространства. В зависимости от требуемого применения и уровня обобщения могут быть даны различные эквивалентные формулировки ориентабельности. Формулировки, применимые к общим топологическим многообразиям, часто используют методы теории гомологий, в то время как для дифференцируемых многообразий имеется больше структуры, позволяющей сформулировать понятие ориентабельности в терминах дифференциальных форм. Обобщением понятия ориентабельности пространства является ориентабельность семейства пространств, параметризованного другим пространством (волоконным расслоением), для которого необходимо выбрать ориентацию в каждом пространстве, которая непрерывно меняется при изменении значений параметров.

Ориентируемые поверхности

Поверхность S в евклидовом пространстве R3 называется ориентируемой, если хиральную двумерную фигуру (например, ) нельзя переместить по поверхности и вернуть в исходную точку таким образом, чтобы она выглядела как свое зеркальное отражение. В противном случае поверхность является не ориентируемой. Абстрактная поверхность (то есть двумерный многообраз) называется ориентируемой, если на ней можно последовательно определить понятие вращения по часовой стрелке непрерывным образом. Иными словами, петля, обходящая поверхность в одном направлении, никогда не может быть непрерывно деформирована (без самопересечений) в петлю, обходящую поверхность в противоположном направлении. Это оказывается эквивалентно вопросу о том, содержит ли поверхность подмножество, гомеоморфное ленте Мёбиуса. Таким образом, для поверхностей ленту Мёбиуса можно считать источником всякой неориентируемости. Для ориентируемой поверхности последовательный выбор направления "по часовой стрелке" (в противоположность "против часовой стрелки") называется ориентацией, а сама поверхность – ориентированной. Для поверхностей, вложенных в евклидово пространство, ориентация задается выбором непрерывно меняющейся нормали n к поверхности в каждой точке. Если такая нормаль существует, то всегда есть два способа ее выбора: n или −n. В более общем случае, ориентируемая поверхность допускает ровно две ориентации, а различие между ориентируемой и ориентированной поверхностью тонкое и часто стирается. Ориентируемая поверхность – это абстрактная поверхность, допускающая ориентацию, в то время как ориентированная поверхность – это поверхность, которая абстрактно ориентируема и имеет дополнительное условие – выбор одной из двух возможных ориентаций.

Примеры

Большинство поверхностей, встречающихся в физическом мире, ориентируемы. Например, сферы, плоскости и торы ориентируемы. Но полосы Мёбиуса, вещественные проективные плоскости и бутылки Клейна не ориентируемы. Они, при визуализации в трех измерениях, все имеют только одну сторону. Вещественная проективная плоскость и бутылка Клейна не могут быть вложены в R3, а могут быть только погружены с аккуратными пересечениями. Важно отметить, что локально всякое вложенное поверхность всегда имеет две стороны, поэтому близорукий муравей, ползающий по односторонней поверхности, будет считать, что существует "другая сторона". Суть односторонности заключается в том, что муравей может переместиться с одной стороны поверхности на "другую", не проходя сквозь поверхность и не переходя через край, а просто проползая достаточно далеко. В общем случае, свойство ориентируемости не эквивалентно свойству быть двусторонним; однако, это справедливо, когда окружающее пространство (например, R3, как указано выше) ориентируемо. Например, тор, вложенный в, может быть односторонним, а бутылка Клейна в том же пространстве может быть двусторонней; здесь речь идет о бутылке Клейна.

Ориентация по треугольному методу

Любая поверхность имеет триангуляцию: разложение на треугольники, такое что каждый отрезок на треугольнике приклеен не более чем к одному другому отрезку. Каждый треугольник ориентируется выбором направления обхода периметра треугольника, что связывает направление с каждым отрезком треугольника. Если это сделано таким образом, что при склеивании соседние отрезки указывают в противоположных направлениях, то это определяет ориентацию поверхности. Такой выбор возможен только если поверхность ориентируема, и в этом случае существует ровно две различные ориентации. Если фигуру можно последовательно расположить во всех точках поверхности, не превращая её в зеркальное отражение, то это индуцирует ориентацию в вышеуказанном смысле на каждом из треугольников триангуляции, выбирая направление каждого треугольника на основе порядка цветов красный, зеленый, синий любой фигуры во внутренней части треугольника. Этот подход обобщается на любое n-многообразие, имеющее триангуляцию. Однако, некоторые 4-многообразия не имеют триангуляции, и в общем случае для n > 4 некоторые n-многообразия имеют неэквивалентные триангуляции.

Ориентабельность и гомология

Если H1(S) обозначает первую гомологическую группу поверхности S, то S ориентируема тогда и только тогда, когда H1(S) имеет тривиальную торсионную подгруппу. Более точно, если S ориентируема, то H1(S) является свободной абелевой группой, а если нет, то H1(S) = F ⊕ Z/2Z, где F — свободная абелева группа, а фактор Z/2Z порождается средней кривой в полосе Мёбиуса, погруженной в S.

Ориентационность коллекторов

Пусть M — связное топологическое n-многообразие. Существует несколько возможных определений того, что значит, что M ориентируем. Некоторые из этих определений требуют, чтобы M обладал дополнительной структурой, например, был дифференцируемым. В некоторых случаях 1=n = 0 необходимо рассматривать как особый случай. Если к M применимо более одного из этих определений, то M ориентируем по одному определению тогда и только тогда, когда он ориентируем по другим.

Ориентационность дифференцируемых коллекторов

Наиболее интуитивно понятные определения требуют, чтобы M было дифференцируемым многообразием. Это означает, что переходные функции в атласе M являются функциями класса C1. Такая функция допускает якобианский детерминант. Если якобианский детерминант положителен, то переходная функция называется сохраняющей ориентацию. Ориентированный атлас на M — это атлас, для которого все переходные функции сохраняют ориентацию. Многообразие M ориентируемо, если оно допускает ориентированный атлас. Когда n > 0, ориентация M — это максимальный ориентированный атлас. (Когда n = 0, ориентация M — это функция M → {±1}.) Ориентируемость и ориентации также могут быть выражены в терминах тангенциального расслоения. Тангенциальное расслоение является векторным расслоением, следовательно, это волокнистое расслоение со структурной группой GL(n, ℝ). То есть, переходные функции многообразия индуцируют переходные функции на тангенциальном расслоении, которые являются линейными преобразованиями по волокнам. Если структурную группу можно свести к группе GL⁺(n, ℝ) матриц с положительным определителем, или, эквивалентно, если существует атлас, функции перехода которого определяют сохраняющее ориентацию линейное преобразование на каждом касательном пространстве, то многообразие M ориентируемо. И наоборот, M ориентируемо тогда и только тогда, когда структурную группу тангенциального расслоения можно свести таким образом. Аналогичные замечания можно сделать для расслоения кадров. Другой способ определения ориентации на дифференцируемом многообразии — через объёмные формы. Объёмная форма — это нигде не исчезающий сечение ω верхнего внешнего произведения котангенциального расслоения M. Например, ℝⁿ имеет стандартную объёмную форму, заданную выражением dx¹ ∧ … ∧ dxⁿ. При наличии объёмной формы на M, множество всех карт U → ℝⁿ, для которых стандартная объёмная форма переходит в положительный кратный ω, является ориентированным атласом. Следовательно, существование объёмной формы эквивалентно ориентируемости многообразия. Объёмные формы и тангенциальные векторы можно объединить, чтобы получить ещё одно описание ориентируемости. Если X₁, …, Xₙ — базис тангенциальных векторов в точке p, то базис называется правоориентированным, если ω(X₁, …, Xₙ) > 0. Переходная функция сохраняет ориентацию, если и только если она переводит правоориентированные базисы в правоориентированные базисы. Существование объёмной формы подразумевает сведение структурной группы тангенциального расслоения или расслоения кадров к GL⁺(n, ℝ). Как и прежде, это подразумевает ориентируемость M. И наоборот, если M ориентируемо, то локальные объёмные формы можно склеить вместе, чтобы создать глобальную объёмную форму, причём ориентируемость необходима для того, чтобы глобальная форма нигде не исчезала.

Гомология и ориентируемость генеральных коллекторов

В основе всех вышеперечисленных определений ориентируемости дифференцируемого многообразия лежит понятие ориентационно-сохраняющей функции перехода. Это поднимает вопрос о том, что именно сохраняют такие функции перехода. Они не могут сохранять ориентацию многообразия, поскольку ориентация многообразия – это атлас, и не имеет смысла говорить, что функция перехода сохраняет или не сохраняет атлас, частью которого она является. Этот вопрос можно разрешить, определив локальные ориентации. На одномерном многообразии локальная ориентация в окрестности точки p соответствует выбору «лево» и «право» вблизи этой точки. На двумерном многообразии она соответствует выбору направления по часовой стрелке и против часовой стрелки. Обе эти ситуации имеют общую черту: они описываются в терминах поведения на верхнем измерении вблизи p, но не в самой точке p. Для общего случая, пусть M – топологическое n-многообразие. Локальная ориентация M в окрестности точки p – это выбор образующего группы .

Чтобы понять геометрический смысл этой группы, выберем локальную параметризацию в окрестности p. В этой параметризации существует окрестность p, являющаяся открытым шаром B вокруг начала координат O. По теореме об отсечении, изоморфна . Шар B стягиваем, поэтому его группы гомологий обращаются в нуль, за исключением степени нуль, а пространство B \ O является (n − 1)-сферой, поэтому его группы гомологий обращаются в нуль, за исключением степеней n − 1 и 0. Вычисление по длинной точной последовательности в относительной гомологии показывает, что вышеуказанная группа гомологий изоморфна . Выбор образующего, следовательно, соответствует решению о том, является ли сфера вокруг p в данной локальной параметризации положительной или отрицательной. Отражение через начало координат действует умножением на -1 на , поэтому геометрический смысл выбора образующего заключается в том, что он различает локальные параметризации и их отражения. На топологическом многообразии функция перехода является ориентационно-сохраняющей, если в каждой точке p в ее области определения она фиксирует образующие . Отсюда соответствующие определения такие же, как и в дифференцируемом случае. Ориентированный атлас – это атлас, для которого все функции перехода ориентационно-сохраняющие, многообразие M ориентируемо, если оно допускает ориентированный атлас, а когда n > 0, ориентация M – это максимальный ориентированный атлас. Интуитивно, ориентация M должна определять единственную локальную ориентацию M в каждой точке. Это становится точным, если заметить, что любая локальная параметризация в ориентированном атласе в окрестности p может быть использована для определения сферы вокруг p, и эта сфера определяет образующий . Более того, любая другая локальная параметризация в окрестности p связана с первой функцией перехода, сохраняющей ориентацию, и это подразумевает, что обе локальные параметризации дают один и тот же образующий, следовательно, образующий уникален. Возможны также чисто гомологические определения. Предполагая, что M замкнуто и связно, M ориентируемо тогда и только тогда, когда n-я группа гомологий изоморфна целым числам Z. Ориентация M – это выбор образующего α этой группы. Этот образующий определяет ориентированный атлас, фиксируя образующий бесконечной циклической группы и принимая ориентированные локальные параметризации как те, для которых α переходит в фиксированный образующий. И наоборот, ориентированный атлас определяет такой образующий, поскольку совместимые локальные ориентации можно склеить вместе, чтобы получить образующий для группы гомологий .

Ориентация и кохомология

Многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда первый класс Стифеля — Уитни равен нулю. В частности, если первая когомологическая группа с коэффициентами Z/2 равна нулю, то многообразие ориентируемо. Более того, если M ориентируемо и w1 равен нулю, то он параметризует выбор ориентаций. Эта характеристика ориентируемости распространяется на ориентируемость общих векторных расслоений над M, а не только на тангенциальное расслоение.

Двойная крышка ориентации

Вокруг каждой точки M существует две локальные ориентации. Интуитивно, существует способ перейти от локальной ориентации в точке p к локальной ориентации в близкой точке p′: когда две точки лежат в одной и той же координатной карте U → 'R'^n, эта координатная карта определяет совместимые локальные ориентации в точках p и p′. Следовательно, множеству локальных ориентаций можно задать топологию, и эта топология превращает его в многообразие. Точнее, пусть O – множество всех локальных ориентаций M. Чтобы топологизировать O, мы укажем подбазу для его топологии. Пусть U – открытое подмножество M, выбранное таким образом, что оно изоморфно Z. Предположим, что α – генератор этой группы. Для каждой точки p в U существует отображение прямого прообраза. Кодомен этой группы имеет два генератора, и α отображается в один из них. Топология на O определяется таким образом, что

открыто. Существует каноническое отображение π: O → M, которое сопоставляет локальную ориентацию в точке p точке p. Очевидно, что каждая точка M имеет ровно два прообраза под π. Более того, π является даже локальным гомеоморфизмом, поскольку прообразы открытых множеств U, упомянутых выше, гомеоморфны дизъюнктному объединению двух копий U. Если M ориентируема, то само M является одним из этих открытых множеств, поэтому O является дизъюнктным объединением двух копий M. Если же M не ориентируема, то O связно и ориентируемо. Многообразие O называется ориентационным накрытием.

Манифолы с границей

Если M – многообразие с границей, то ориентация M определяется как ориентация его внутренней области. Такая ориентация индуцирует ориентацию ∂M. Действительно, предположим, что ориентация M фиксирована. Пусть U → R^(n)+ – локальная параметризация в граничной точке M, которая при ограничении на внутреннюю область M принадлежит выбранному ориентированному атласу. Ограничение этой локальной параметризации на ∂M является локальной параметризацией ∂M. Такие локальные параметризации образуют ориентированный атлас для ∂M. Когда M гладкая, в каждой точке p из ∂M ограничение касательного расслоения M до ∂M изоморфно Tp∂M ⊕ R, где фактор R описывается внутренним нормальным вектором. Ориентация Tp∂M определяется условием, что базис Tp∂M является положительно ориентированным тогда и только тогда, когда он, будучи объединенным с внутренним нормальным вектором, определяет положительно ориентированный базис TpM.

Двойная крышка с ориентируемым покрытием

В другом, близком понятии, используется идея пространства накрытий. Для связного многообразия M рассмотрим множество пар (x, o), где x – точка M, а o – ориентация в точке x; здесь мы предполагаем, что M либо гладкое, так что можно выбрать ориентацию на касательном пространстве в точке, либо используем сингулярную гомологию для определения ориентации. Затем для каждого открытого ориентированного подмножества M рассматриваем соответствующее множество пар и определяем его как открытое множество M. Это наделяет M топологией, и проекция, отображающая (x, o) в x, является покрывающим отображением 2 к 1. Это пространство накрытий называется ориентируемым двойным накрытием, поскольку оно ориентируемо. M связно тогда и только тогда, когда M не ориентируемо. Другой способ построить это накрытие – разделить петли, начинающиеся в базовой точке, на петли, сохраняющие ориентацию, и петли, меняющие ориентацию. Петли, сохраняющие ориентацию, порождают подгруппу фундаментальной группы, которая либо совпадает со всей группой, либо имеет индекс 2. В последнем случае (что означает существование пути, меняющего ориентацию) подгруппа соответствует связному двойному накрытию; это накрытие ориентируемо по построению. В первом случае можно просто взять две копии M, каждая из которых соответствует различной ориентации.

Ориентация векторных пучков

Реальный векторный расслоение, априори имеющее структуру группы GL(n), называется ориентируемым, если структуру группы можно свести к SL(n), группе матриц с положительным определителем. Для тангенциального расслоения такое сведение всегда возможно, если лежащее в основе многообразие ориентируемо, и фактически это предоставляет удобный способ определения ориентируемости гладкого вещественного многообразия: гладкое многообразие определяется как ориентируемое, если его тангенциальное расслоение ориентируемо (как векторное расслоение). Следует отметить, что само по себе тангенциальное расслоение всегда ориентируемо, даже над неориентируемыми многообразиями.