Статистика Бозе — Эйнштейна и поведение бозонов

Введение

В квантовой статистике статистика Бозе–Эйнштейна (Б–Э статистика) описывает один из двух возможных способов, которыми совокупность невзаимодействующих идентичных частиц может занимать набор доступных дискретных энергетических состояний при термодинамическом равновесии. Скупчивание частиц в одном и том же состоянии, являющееся характерной чертой частиц, подчиняющихся статистике Бозе–Эйнштейна, объясняет когерентность лазерного излучения и сверхтекучесть жидкого гелия. Теория этого поведения была разработана (1924–25) Сатьендрой Натом Босом, который обнаружил, что совокупность идентичных и неразличимых частиц может распределяться таким образом. Позже эту идею принял и развил Альберт Эйнштейн в сотрудничестве с Бозе. Статистика Бозе–Эйнштейна применима только к частицам, не подчиняющимся ограничениям принципа исключения Паули. Частицы, подчиняющиеся статистике Бозе–Эйнштейна, называются бозонами и имеют целые значения спина. В отличие от них, частицы, подчиняющиеся статистике Ферми–Дирака, называются фермионами и имеют полуцелые значения спина.

История

Владислав Натансон в 1911 году пришел к выводу, что закон Планка требует неразличимости "единиц энергии", хотя он не сформулировал это с точки зрения световых квантов Эйнштейна. Во время лекции в Университете Дакки (тогдашняя Британская Индия, ныне Бангладеш) по теории излучения и ультрафиолетовой катастрофе Сатьендра Натх Бозе намеревался показать своим студентам несостоятельность современной теории, поскольку она предсказывала результаты, не соответствующие экспериментальным данным. В ходе этой лекции Бозе допустил ошибку в применении теории, которая неожиданно привела к предсказанию, согласующемуся с экспериментом. Ошибка была простой – подобной утверждению, что при подбрасывании двух честных монет вероятность выпадения двух орлов составляет треть – что было бы очевидно неверно для любого, обладающего базовыми знаниями статистики (примечательно, что эта ошибка напоминает знамениную оплошность Д’Аламбера, известную из его статьи "Орёл и решка"). Однако полученные результаты соответствовали эксперименту, и Бозе понял, что это, возможно, не ошибка. Впервые он предположил, что распределение Максвелла — Больцмана не применимо ко всем микроскопическим частицам во всех масштабах. Таким образом, он исследовал вероятность обнаружения частиц в различных состояниях в фазовом пространстве, где каждое состояние представляет собой небольшой участок с фазовым объемом h3, а положение и импульс частиц не рассматриваются как отдельные величины, а как единая переменная. Бозе преобразовал эту лекцию в короткую статью под названием «Закон Планка и гипотеза о квантах света» и представил её в журнал Philosophical Magazine. Однако рецензия была отрицательной, и статья была отклонена. Не отчаявшись, он отправил рукопись Альберту Эйнштейну с просьбой опубликовать её. Эйнштейн немедленно согласился, лично перевёл статью с английского на немецкий (Бозе ранее перевёл статью Эйнштейна об общей теории относительности с немецкого на английский) и добился её публикации. Теория Бозе получила признание, когда Эйнштейн отправил свою собственную статью в поддержку работы Бозе, попросив опубликовать их вместе. Статья вышла в 1924 году. Причина, по которой Бозе получил точные результаты, заключалась в том, что поскольку фотоны неразличимы друг для друга, нельзя рассматривать любые два фотона с одинаковыми квантовыми числами (например, поляризацией и вектором импульса) как два различных идентифицируемых фотона. Изначально у Бозе был фактор 2 для возможных спиновых состояний, но Эйнштейн изменил его на поляризацию. По аналогии, если бы в альтернативной вселенной монеты вели себя как фотоны и другие бозоны, вероятность выпадения двух орлов действительно была бы равна одной трети, а вероятность выпадения орла и решки – одной половине для обычных (классических, различимых) монет. «Ошибка» Бозе привела к тому, что сейчас называется статистикой Бозе — Эйнштейна. Бозе и Эйнштейн распространили эту идею на атомы, что привело к предсказанию существования явления, известного как конденсат Бозе — Эйнштейна, плотного скопления бозонов (частиц с целым спином, названных в честь Бозе), существование которого было экспериментально подтверждено в 1995 году.

Władysław Natanson in 1911 concluded that Planck's law requires indistinguishability of "units of energy", although he did not frame this in terms of Einstein's light quanta. While presenting a lecture at the University of Dhaka (in what was then British India and is now Bangladesh) on the theory of radiation and the ultraviolet catastrophe, Satyendra Nath Bose intended to show his students that the contemporary theory was inadequate, because it predicted results not in accordance with experimental results. During this lecture, Bose committed an error in applying the theory, which unexpectedly gave a prediction that agreed with the experiment. The error was a simple mistake—similar to arguing that flipping two fair coins will produce two heads one third of the time—that would appear obviously wrong to anyone with a basic understanding of statistics (remarkably, this error resembled the famous blunder by d'Alembert known from his Croix ou Pile article). However, the results it predicted agreed with experiment, and Bose realized it might not be a mistake after all. For the first time, he took the position that the Maxwell–Boltzmann distribution would not be true for all microscopic particles at all scales. Thus, he studied the probability of finding particles in various states in phase space, where each state is a little patch having phase volume of h3, and the position and momentum of the particles are not kept particularly separate but are considered as one variable. Bose adapted this lecture into a short article called "Planck's law and the hypothesis of light quanta" and submitted it to the Philosophical Magazine. However, the referee's report was negative, and the paper was rejected. Undaunted, he sent the manuscript to Albert Einstein requesting publication in the italic=yes. Einstein immediately agreed, personally translated the article from English into German (Bose had earlier translated Einstein's article on the general theory of relativity from German to English), and saw to it that it was published. Bose's theory achieved respect when Einstein sent his own paper in support of Bose's to italic=yes, asking that they be published together. The paper came out in 1924. The reason Bose produced accurate results was that since photons are indistinguishable from each other, one cannot treat any two photons having equal quantum numbers (e. g., polarization and momentum vector) as being two distinct identifiable photons. Bose originally had a factor of 2 for the possible spin states, but Einstein changed it to polarization. By analogy, if in an alternate universe coins were to behave like photons and other bosons, the probability of producing two heads would indeed be one third, and so is the probability of getting a head and a tail which equals one half for the conventional (classical, distinguishable) coins. Bose's "error" leads to what is now called Bose–Einstein statistics. Bose and Einstein extended the idea to atoms and this led to the prediction of the existence of phenomena which became known as Bose–Einstein condensate, a dense collection of bosons (which are particles with integer spin, named after Bose), which was demonstrated to exist by experiment in 1995.