Введение

В математике, операция над множествами – это операция над множествами.

В математике, дизъюнктное объединение (или дискриминированное объединение) множеств A и B – это множество, образованное из элементов A и B, снабженных (индексированных) указанием множества, из которого они взяты. Таким образом, элемент, принадлежащий как A, так и B, появляется в дизъюнктном объединении дважды, с двумя различными метками. Дизъюнктное объединение индексированной семьи множеств – это множество, часто обозначаемое как ∪ᵢ Aᵢ, с инъекцией каждого Aᵢ в это множество, такой что образы этих инъекций образуют разбиение этого множества (то есть каждый элемент множества принадлежит ровно одному из этих образов). Дизъюнктное объединение семьи попарно непересекающихся множеств – это их объединение. В теории категорий, дизъюнктное объединение является копроизведением категории множеств и, следовательно, определяется с точностью до биекции. В этом контексте часто используется обозначение ∐. Дизъюнктное объединение двух множеств A и B записывается в инфиксной нотации как A ∐ B. Некоторые авторы используют альтернативные обозначения A ⊔ B или A + B (наряду с соответствующими ⊔ и +). Стандартный способ построения дизъюнктного объединения – определить его как множество упорядоченных пар {(x, i) | x ∈ Aᵢ для некоторого i}, а инъекцию как {(x, i) ↦ x}.

С точки зрения теории категорий

В теории категорий дизъюнктное объединение определяется как копроизведение в категории множеств. Следовательно, дизъюнктное объединение определяется с точностью до изоморфизма, и вышеприведённое определение является лишь одной реализацией копроизведения, среди прочих. Когда множества попарно не пересекаются, обычное объединение является другой реализацией копроизведения. Это обосновывает второе определение во введении. Этот категорный аспект дизъюнктного объединения объясняет, почему символ часто используется для обозначения копроизведения, вместо .