Введение
Число, большее всех конечных чисел.
В математике трансконечные числа или бесконечные числа — это числа, которые "бесконечны" в том смысле, что они больше всех конечных чисел. К ним относятся трансфинитные кардиналы, представляющие собой кардинальные числа, используемые для определения мощности бесконечных множеств, и трансфинитные ординалы, представляющие собой порядковые числа, используемые для упорядочивания бесконечных множеств. Термин "трансфинит" был введен в 1895 году Георгом Кантором, который стремился избежать некоторых следствий слова "бесконечный" применительно к этим объектам, которые, тем не менее, не являлись конечными. В настоящее время немногие авторы разделяют эти опасения, и общепринятой практикой является обозначение трансфинитных кардиналов и ординалов как бесконечных чисел. Тем не менее, термин "трансфинит" по-прежнему используется. Значительный вклад в изучение трансфинитных чисел внес Вацлав Серпинский: "Leçons sur les nombres transfinis" (книга 1928 года), значительно расширенная в "Cardinal and Ordinal Numbers" (1958, 2-е издание 1965 года).
In mathematics, transfinite numbers or infinite numbers are numbers that are "infinite" in the sense that they are larger than all finite numbers. These include the transfinite cardinals, which are cardinal numbers used to quantify the size of infinite sets, and the transfinite ordinals, which are ordinal numbers used to provide an ordering of infinite sets. The term transfinite was coined in 1895 by Georg Cantor, who wished to avoid some of the implications of the word infinite in connection with these objects, which were, nevertheless, not finite. Few contemporary writers share these qualms; it is now accepted usage to refer to transfinite cardinals and ordinals as infinite numbers. Nevertheless, the term transfinite also remains in use. Notable work on transfinite numbers was done by Wacław Sierpiński: Leçons sur les nombres transfinis (1928 book) much expanded into Cardinal and Ordinal Numbers (1958, 2nd ed. 1965).
Определение
Любое конечное натуральное число может быть использовано по крайней мере двумя способами: как ординал и как кардинал. Кардинальные числа определяют мощность множества (например, мешок с пятью шариками), в то время как ординальные числа определяют порядок элемента в упорядоченном множестве (например, "третий слева" или "двадцать седьмой день января"). При расширении на трансфинитные числа эти два понятия перестают быть во взаимно однозначном соответствии. Трансфинитное кардинальное число используется для описания мощности бесконечного множества.
Примеры
В теории порядковых чисел Кантора каждое целое число должно иметь преемник. Следующее целое число после всех регулярных, то есть первое бесконечное целое число, в этом контексте называется ω, и ω больше 0, 1 и 2. Арифметические выражения, содержащие ω, задают порядковое число и могут рассматриваться как множество всех целых чисел до этого числа. Данное число обычно имеет несколько выражений, представляющих его, однако существует уникальная нормальная форма Кантора, представляющая его – по сути, конечная последовательность цифр, дающих коэффициенты убывающих степеней ω. Не все бесконечные целые числа могут быть представлены в нормальной форме Кантора, однако первое, которое не может быть представлено, задается пределом lim(ω^n)^(1/n) и называется ε₀ – это наименьшее решение уравнения ω^ε₀ = ε₀, а следующие решения дают еще большие порядковые числа, и можно продолжать до достижения предела ε₁, который является первым решением уравнения ω^ε₁ = ε₁. Это означает, что для того, чтобы задать все трансфинитные целые числа, необходимо придумать бесконечную последовательность имен: потому что если бы было указано единственное наибольшее целое число, всегда можно было бы упомянуть его больший преемник. Но, как отметил Кантор, даже это позволяет достичь только самого низкого класса трансфинитных чисел – тех, размер множеств которых соответствует кардинальному числу ℵ₀.
Not all infinite integers can be represented by a Cantor normal form however, and the first one that cannot is given by the limit and is termed is the smallest solution to , and the following solutions give larger ordinals still, and can be followed until one reaches the limit , which is the first solution to This means that in order to be able to specify all transfinite integers, one must think up an infinite sequence of names: because if one were to specify a single largest integer, one would then always be able to mention its larger successor. But as noted by Cantor, even this only allows one to reach the lowest class of transfinite numbers: those whose size of sets correspond to the cardinal number .