Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Специальный случай в теории вероятностей; вводит понятие хвостовых событий.
Special case in probability theory; introduces tail events
В теории вероятностей закон Колмогорова о нуле и единице, названный в честь Андрея Николаевича Колмогорова, утверждает, что определенный тип события, а именно хвостовое событие для независимых σ-алгебр, произойдет почти наверняка или не произойдет почти наверняка; то есть вероятность наступления такого события равна нулю или единице. Хвостовые события определяются через счетные бесконечные семейства σ-алгебр. Для иллюстрации рассмотрим специальный случай, в котором каждая сигма-алгебра порождается случайной величиной для Пусть будет сигма-алгеброй, порожденной совместно всеми этими случайными величинами. Тогда хвостовое событие – это событие, которое вероятностно независимо от любого конечного подмножества этих случайных величин. (Примечание: принадлежность к подразумевает, что принадлежность к определяется однозначно значениями , но последнее условие строже и недостаточно для доказательства закона о нуле и единице.) Например, событие сходимости последовательности и событие сходимости ее суммы являются хвостовыми событиями. Если, например, все случайные величины имеют распределение Бернулли, то событие бесконечного числа таких, что , также является хвостовым событием. Если каждая представляет собой исход -го броска монеты в моделируемой бесконечной последовательности бросков, то последовательность из 100 последовательных орлов, возникающих бесконечно много раз, является хвостовым событием в этой модели. Хвостовые события – это именно те события, исход которых можно определить даже после удаления произвольно большого, но конечного начального сегмента последовательности . Во многих случаях легко применить закон Колмогорова о нуле и единице, чтобы показать, что вероятность некоторого события равна 0 или 1, но удивительно сложно определить, какое из этих двух крайних значений является верным.
In probability theory, Kolmogorov's zero–one law, named in honor of Andrey Nikolaevich Kolmogorov, specifies that a certain type of event, namely a tail event of independent σ algebras, will either almost surely happen or almost surely not happen; that is, the probability of such an event occurring is zero or one. Tail events are defined in terms of countably infinite families of σ algebras. For illustrative purposes, we present here the special case in which each sigma algebra is generated by a random variable for Let be the sigma algebra generated jointly by all of the Then, a tail event is an event which is probabilistically independent of each finite subset of these random variables. (Note: belonging to implies that membership in is uniquely determined by the values of the , but the latter condition is strictly weaker and does not suffice to prove the zero one law.) For example, the event that the sequence of the converges, and the event that its sum converges are both tail events. If the are, for example, all Bernoulli distributed, then the event that there are infinitely many such that is a tail event. If each models the outcome of the th coin toss in a modeled, infinite sequence of coin tosses, this means that a sequence of 100 consecutive heads occurring infinitely many times is a tail event in this model. Tail events are precisely those events whose occurrence can still be determined if an arbitrarily large but finite initial segment of the is removed. In many situations, it can be easy to apply Kolmogorov's zero–one law to show that some event has probability 0 or 1, but surprisingly hard to determine which of these two extreme values is the correct one.
Формулировка
Более общее утверждение закона Колмогорова о нулевой и единице применимо к последовательностям независимых σ-алгебр. Пусть (Ω, F, P) – вероятностное пространство и пусть Fn – последовательность σ-алгебр, содержащихся в F. Пусть
A more general statement of Kolmogorov's zero–one law holds for sequences of independent σ algebras. Let (Ω,F,P) be a probability space and let Fn be a sequence of σ algebras contained in F. Let
будет наименьшей σ-алгеброй, содержащей Fn, Fn+1, … Терминальная σ-алгебра для Fn определяется как Закон Колмогорова о нулевой и единице утверждает, что если Fn стохастически независимы, то для любого события E выполняется либо P(E) = 0, либо P(E) = 1. Формулировка закона в терминах случайных величин получается из предыдущей, рассматривая каждое Fn как σ-алгебру, порожденную случайной величиной Xn. Хвостовое событие по определению – это событие, измеримое относительно σ-алгебры, порожденной всеми Xn, но независимое от любого конечного числа Xn. То есть, хвостовое событие является элементом терминальной σ-алгебры.
be the smallest σ algebra containing Fn, Fn+1, The terminal σ algebra of the Fn is defined as
Kolmogorov's zero–one law asserts that, if the Fn are stochastically independent, then for any event , one has either P(E) = 0 or P(E)=1. The statement of the law in terms of random variables is obtained from the latter by taking each Fn to be the σ algebra generated by the random variable Xn. A tail event is then by definition an event which is measurable with respect to the σ algebra generated by all Xn, but which is independent of any finite number of Xn. That is, a tail event is precisely an element of the terminal σ algebra .
Примеры
Инвертируемое сохраняющее меру преобразование на стандартном вероятностном пространстве, удовлетворяющее закону 0-1, называется автоморфизмом Колмогорова. Все автоморфизмы Бернулли являются автоморфизмами Колмогорова, но не наоборот. Наличие бесконечного кластера в контексте теории перколяции также удовлетворяет закону 0-1. Пусть – последовательность независимых случайных величин, тогда событие является хвостовым событием. Следовательно, согласно закону Колмогорова 0-1, вероятность его наступления равна либо 0, либо 1. Следует отметить, что независимость необходима для выполнения условия хвостового события. Без независимости можно рассмотреть последовательность, принимающую значения либо , либо с вероятностью каждое. В этом случае сумма сходится с вероятностью .
An invertible measure preserving transformation on a standard probability space that obeys the 0 1 law is called a Kolmogorov automorphism. All Bernoulli automorphisms are Kolmogorov automorphisms but not vice versa. The presence of an infinite cluster in the context of percolation theory also obeys the 0 1 law. Let be a sequence of independent random variables, then the event is a tail event. Thus by Kolmogorov 0 1 law, it has either probability 0 or 1 to happen. Note that independence is required for the tail event condition to hold. Without independence we can consider a sequence that's either or with probability each. In this case the sum converges with probability .