Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В этой статье перечислены некоторые важные классы матриц, используемых в математике, науке и инженерии. Матрица (множественное число – матрицы, реже – матриксы) – это прямоугольный массив чисел, называемых элементами. Матрицы имеют долгую историю изучения и применения, что привело к разнообразным способам их классификации. Первая группа – это матрицы, удовлетворяющие конкретным условиям относительно элементов, включая постоянные матрицы. Важными примерами являются единичная матрица, задаваемая
None
This article lists some important classes of matrices used in mathematics, science and engineering. A matrix (plural matrices, or less commonly matrixes) is a rectangular array of numbers called entries. Matrices have a long history of both study and application, leading to diverse ways of classifying matrices. A first group is matrices satisfying concrete conditions of the entries, including constant matrices. Important examples include the identity matrix given by
and the zero matrix of dimension For example:
Further ways of classifying matrices are according to their eigenvalues, or by imposing conditions on the product of the matrix with other matrices. Finally, many domains, both in mathematics and other sciences including physics and chemistry, have particular matrices that are applied chiefly in these areas.
и нулевая матрица заданного размера. Например:
None
This article lists some important classes of matrices used in mathematics, science and engineering. A matrix (plural matrices, or less commonly matrixes) is a rectangular array of numbers called entries. Matrices have a long history of both study and application, leading to diverse ways of classifying matrices. A first group is matrices satisfying concrete conditions of the entries, including constant matrices. Important examples include the identity matrix given by
and the zero matrix of dimension For example:
Further ways of classifying matrices are according to their eigenvalues, or by imposing conditions on the product of the matrix with other matrices. Finally, many domains, both in mathematics and other sciences including physics and chemistry, have particular matrices that are applied chiefly in these areas.
Дальнейшие способы классификации матриц основаны на их собственных значениях или на наложении условий на произведение матрицы с другими матрицами. Наконец, во многих областях, как в математике, так и в других науках, включая физику и химию, существуют специфические матрицы, которые применяются преимущественно в этих областях.
None
This article lists some important classes of matrices used in mathematics, science and engineering. A matrix (plural matrices, or less commonly matrixes) is a rectangular array of numbers called entries. Matrices have a long history of both study and application, leading to diverse ways of classifying matrices. A first group is matrices satisfying concrete conditions of the entries, including constant matrices. Important examples include the identity matrix given by
and the zero matrix of dimension For example:
Further ways of classifying matrices are according to their eigenvalues, or by imposing conditions on the product of the matrix with other matrices. Finally, many domains, both in mathematics and other sciences including physics and chemistry, have particular matrices that are applied chiefly in these areas.
Постоянные матрицы
Ниже приведен список матриц, элементы которых постоянны для любого заданного измерения (размера) матрицы. Элементы матрицы будут обозначаться как aij. В таблице ниже используется символ Кронекера δij для двух целых чисел i и j, который равен 1, если i = j, и 0 в противном случае. Название Пояснение Символическое описание элементов Примечания Матрица перестановок Матрица линейного преобразования, отображающего матрицу в ее транспонированную матрицу См. Векторизацию Матрица дублирования Матрица линейного преобразования, отображающая вектор различных элементов симметричной матрицы в вектор всех элементов матрицы См. Векторизацию Матрица исключения Матрица линейного преобразования, отображающая вектор элементов матрицы в вектор части элементов (например, вектор элементов, не находящихся ниже главной диагонали) См. Векторизацию Матрица обмена Бинарная матрица с единицами на антидиагонали и нулями в остальных позициях. aij = δn+1−i,j Матрица перестановки. Матрица Гильберта aij = (i + j − 1)−1. Матрица Хэнкеля. Матрица единиц Квадратная диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные — 0. aij = δij Матрица Лемера aij = min(i, j) / max(i, j). Положительная симметричная матрица. Матрица, состоящая из единиц Матрица, в которой все элементы равны единице. aij = 1. Матрица Паскаля Матрица, содержащая элементы треугольника Паскаля. Матрицы Паули Набор из трех 2 × 2 комплексных эрмитовых и унитарных матриц. В сочетании с единичной матрицей I2 они образуют ортогональный базис для 2 × 2 комплексных эрмитовых матриц. Матрица Редхеффера Кодирует свертку Дирихле. Элементы матрицы задаются функцией делителей; элементы обратной матрицы задаются функцией Мёбиуса. aij равны 1, если i делит j или если j = 1; в противном случае aij = 0. Матрица (0, 1). Сдвиговая матрица Матрица с единицами на супердиагонали или субдиагонали и нулями в остальных позициях. aij = δi+1,j или aij = δi−1,j Умножение на нее сдвигает элементы матрицы на одну позицию. Нулевая матрица Матрица, все элементы которой равны нулю. aij = 0.
The list below comprises matrices whose elements are constant for any given dimension (size) of matrix. The matrix entries will be denoted aij. The table below uses the Kronecker delta δij for two integers i and j which is 1 if i = j and 0 else. Name Explanation Symbolic description of the entries Notes Commutation matrix The matrix of the linear map that maps a matrix to its transpose See Vectorization Duplication matrix The matrix of the linear map mapping the vector of the distinct entries of a symmetric matrix to the vector of all entries of the matrix See Vectorization Elimination matrix The matrix of the linear map mapping the vector of the entries of a matrix to the vector of a part of the entries (for example the vector of the entries that are not below the main diagonal) See vectorization Exchange matrix The binary matrix with ones on the anti diagonal, and zeroes everywhere else. aij = δn+1−i,j A permutation matrix. Hilbert matrix aij = (i + j − 1)−1. A Hankel matrix. Identity matrix A square diagonal matrix, with all entries on the main diagonal equal to 1, and the rest 0. aij = δij Lehmer matrix aij = min(i, j) ÷ max(i, j). A positive symmetric matrix. Matrix of ones A matrix with all entries equal to one. aij = 1. Pascal matrix A matrix containing the entries of Pascal's triangle. Pauli matrices A set of three 2 × 2 complex Hermitian and unitary matrices. When combined with the I2 identity matrix, they form an orthogonal basis for the 2 × 2 complex Hermitian matrices. Redheffer matrix Encodes a Dirichlet convolution. Matrix entries are given by the divisor function; entires of the inverse are given by the Möbius function. aij are 1 if i divides j or if j = 1; otherwise, aij = 0. A (0, 1) matrix. Shift matrix A matrix with ones on the superdiagonal or subdiagonal and zeroes elsewhere. aij = δi+1,j or aij = δi−1,j Multiplication by it shifts matrix elements by one position. Zero matrix A matrix with all entries equal to zero. aij = 0.
Специфические шаблоны для записей
Ниже перечислены матрицы, для элементов которых выполняются определенные условия. Многие из них применимы только к квадратным матрицам, то есть матрицам с одинаковым количеством столбцов и строк. Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, соединяющая верхний левый и нижний правый углы, или, эквивалентно, элементы a<sub>i,i</sub>. Другая диагональ называется антидиагональю (или вторичной диагональю).
The following lists matrices whose entries are subject to certain conditions. Many of them apply to square matrices only, that is matrices with the same number of columns and rows. The main diagonal of a square matrix is the diagonal joining the upper left corner and the lower right one or equivalently the entries ai,i. The other diagonal is called anti diagonal (or counter diagonal). Name Explanation Notes, references (0,1) matrix A matrix with all elements either 0 or 1. Synonym for binary matrix or logical matrix. Alternant matrix A matrix in which successive columns have a particular function applied to their entries. Alternating sign matrix A square matrix with entries 0, 1 and −1 such that the sum of each row and column is 1 and the nonzero entries in each row and column alternate in sign. Anti diagonal matrix A square matrix with all entries off the anti diagonal equal to zero. Anti Hermitian matrix Synonym for skew Hermitian matrix. Anti symmetric matrix Synonym for skew symmetric matrix. Arrowhead matrix A square matrix containing zeros in all entries except for the first row, first column, and main diagonal. Band matrix A square matrix whose non zero entries are confined to a diagonal band. Bidiagonal matrix A matrix with elements only on the main diagonal and either the superdiagonal or subdiagonal. Sometimes defined differently, see article. Binary matrix A matrix whose entries are all either 0 or 1. Synonym for (0,1) matrix or logical matrix. Bisymmetric matrix A square matrix that is symmetric with respect to its main diagonal and its main cross diagonal. Block diagonal matrix A block matrix with entries only on the diagonal. Block matrix A matrix partitioned in sub matrices called blocks. Block tridiagonal matrix A block matrix which is essentially a tridiagonal matrix but with submatrices in place of scalar elements. Boolean matrix A matrix whose entries are taken from a Boolean algebra. Cauchy matrix A matrix whose elements are of the form 1/(xi + yj) for (xi), (yj) injective sequences (i. e., taking every value only once). Centrosymmetric matrix A matrix symmetric about its center; i. e., aij = an−i+1,n−j+1. Circulant matrix A matrix where each row is a circular shift of its predecessor. Conference matrix A square matrix with zero diagonal and +1 and −1 off the diagonal, such that CTC is a multiple of the identity matrix. Complex Hadamard matrix A matrix with all rows and columns mutually orthogonal, whose entries are unimodular. Compound matrix A matrix whose entries are generated by the determinants of all minors of a matrix. Copositive matrix A square matrix A with real coefficients, such that is nonnegative for every nonnegative vector x Diagonally dominant matrix A matrix whose entries satisfy Diagonal matrix A square matrix with all entries outside the main diagonal equal to zero. Discrete Fourier transform matrix Multiplying by a vector gives the DFT of the vector as result. Elementary matrix A square matrix derived by applying an elementary row operation to the identity matrix. Equivalent matrix A matrix that can be derived from another matrix through a sequence of elementary row or column operations. Frobenius matrix A square matrix in the form of an identity matrix but with arbitrary entries in one column below the main diagonal. GCD matrix The matrix having the greatest common divisor as its entry, where Generalized permutation matrix A square matrix with precisely one nonzero element in each row and column. Hadamard matrix A square matrix with entries +1, −1 whose rows are mutually orthogonal. Hankel matrix A matrix with constant skew diagonals; also an upside down Toeplitz matrix. A square Hankel matrix is symmetric. Hermitian matrix A square matrix which is equal to its conjugate transpose, A = A*. Hessenberg matrix An "almost" triangular matrix, for example, an upper Hessenberg matrix has zero entries below the first subdiagonal. Hollow matrix A square matrix whose main diagonal comprises only zero elements. Integer matrix A matrix whose entries are all integers. Logical matrix A matrix with all entries either 0 or 1. Synonym for (0,1) matrix, binary matrix or Boolean matrix. Can be used to represent a k adic relation. Markov matrix A matrix of non negative real numbers, such that the entries in each row sum to 1. Metzler matrix A matrix whose off diagonal entries are non negative. Monomial matrix A square matrix with exactly one non zero entry in each row and column. Synonym for generalized permutation matrix. Moore matrix A row consists of a, aq, aq², etc., and each row uses a different variable. Nonnegative matrix A matrix with all nonnegative entries. Null symmetric matrixA square matrix whose null space (or kernel) is equal to its transpose, N(A) = N(AT) or ker(A) = ker(AT). Synonym for kernel symmetric matrices. Examples include (but not limited to) symmetric, skew symmetric, and normal matrices. Null Hermitian matrixA square matrix whose null space (or kernel) is equal to its conjugate transpose, N(A)=N(A*) or ker(A)=ker(A*). Synonym for kernel Hermitian matrices. Examples include (but not limited) to Hermitian, skew Hermitian matrices, and normal matrices. Partitioned matrix A matrix partitioned into sub matrices, or equivalently, a matrix whose entries are themselves matrices rather than scalars. Synonym for block matrix. Parisi matrix A block hierarchical matrix. It consist of growing blocks placed along the diagonal, each block is itself a Parisi matrix of a smaller size. In theory of spin glasses is also known as a replica matrix. Pentadiagonal matrix A matrix with the only nonzero entries on the main diagonal and the two diagonals just above and below the main one. Permutation matrix A matrix representation of a permutation, a square matrix with exactly one 1 in each row and column, and all other elements 0. Persymmetric matrix A matrix that is symmetric about its northeast–southwest diagonal, i. e., aij = an−j+1,n−i+1. Polynomial matrix A matrix whose entries are polynomials. Positive matrix A matrix with all positive entries. Quaternionic matrix A matrix whose entries are quaternions. Random matrix A matrix whose entries are random variables Sign matrix A matrix whose entries are either +1, 0, or −1. Signature matrix A diagonal matrix where the diagonal elements are either +1 or −1. Single entry matrix A matrix where a single element is one and the rest of the elements are zero. Skew Hermitian matrix A square matrix which is equal to the negative of its conjugate transpose, A* = −A. Skew symmetric matrix A matrix which is equal to the negative of its transpose, AT = −A. Skyline matrix A rearrangement of the entries of a banded matrix which requires less space. Sparse matrix A matrix with relatively few non zero elements. Sparse matrix algorithms can tackle huge sparse matrices that are utterly impractical for dense matrix algorithms. Symmetric matrix A square matrix which is equal to its transpose, A = AT (ai,j = aj,i). Toeplitz matrix A matrix with constant diagonals. Totally positive matrix A matrix with determinants of all its square submatrices positive. Triangular matrix A matrix with all entries above the main diagonal equal to zero (lower triangular) or with all entries below the main diagonal equal to zero (upper triangular). Tridiagonal matrix A matrix with the only nonzero entries on the main diagonal and the diagonals just above and below the main one. X–Y–Z matrixA generalization to three dimensions of the concept of two dimensional array Vandermonde matrix A row consists of 1, a, a2, a3, etc., and each row uses a different variable. Walsh matrix A square matrix, with dimensions a power of 2, the entries of which are +1 or −1, and the property that the dot product of any two distinct rows (or columns) is zero. Z matrix A matrix with all off diagonal entries less than zero.
Название | Пояснение | Примечания, ссылки
------- | -------- | --------
(0,1)-матрица | Матрица, все элементы которой либо 0, либо 1. | Синоним бинарной или логической матрицы.
Альтернантная матрица | Матрица, в которой к последовательным столбцам применяется определенная функция. |
Матрица с чередующимися знаками | Квадратная матрица с элементами 0, 1 и −1, такая что сумма элементов каждой строки и каждого столбца равна 1, а ненулевые элементы в каждой строке и каждом столбце чередуются по знаку. |
Антидиагональная матрица | Квадратная матрица, в которой все элементы вне антидиагонали равны нулю. |
Антиэрмитова матрица | Синоним косоэрмитовой матрицы. |
Антисимметричная матрица | Синоним кососимметричной матрицы. |
Матрица со стреловидной структурой | Квадратная матрица, содержащая нули во всех элементах, кроме первого ряда, первого столбца и главной диагонали. |
Полосатая матрица | Квадратная матрица, ненулевые элементы которой ограничены диагональной полосой. |
Бидиагональная матрица | Матрица, элементы которой находятся только на главной диагонали и либо на наддиагонали, либо на поддиагонали. | Иногда определяется по-другому, см. статью.
Бинарная матрица | Матрица, в которой все элементы равны 0 или 1. | Синоним (0,1)-матрицы или логической матрицы.
Бисимметричная матрица | Квадратная матрица, симметричная относительно главной диагонали и вторичной диагонали. |
Блочно-диагональная матрица | Блочная матрица, элементы которой находятся только на диагонали. |
Блочная матрица | Матрица, разделенная на подматрицы, называемые блоками. |
Блочно-тридиагональная матрица | Блочная матрица, которая по сути является тридиагональной матрицей, но с подматрицами вместо скалярных элементов. |
Булева матрица | Матрица, элементы которой берутся из булевой алгебры. |
Матрица Коши | Матрица, элементы которой имеют вид 1/(x<sub>i</sub> + y<sub>j</sub>) для инъективных последовательностей (x<sub>i</sub>), (y<sub>j</sub>) (то есть, принимающих каждое значение только один раз). |
Центросимметричная матрица | Матрица, симметричная относительно своего центра; то есть a<sub>i,j</sub> = a<sub>n-i+1, n-j+1</sub>. |
Циркулянтная матрица | Матрица, в которой каждая строка является циклическим сдвигом предыдущей. |
Конференц-матрица | Квадратная матрица с нулевой диагональю и элементами +1 и −1 вне диагонали, такая что C<sup>T</sup>C кратна единичной матрице. |
Комплексная матрица Хадамара | Матрица, в которой все строки и столбцы взаимно ортогональны, а элементы являются унимодулярными. |
Составная матрица | Матрица, элементы которой генерируются определителями всех миноров матрицы. |
Копозитивная матрица | Квадратная матрица A с вещественными коэффициентами, такая что x<sup>T</sup>Ax ≥ 0 для любого неотрицательного вектора x. |
Диагонально доминирующая матрица | Матрица, элементы которой удовлетворяют определенному условию доминирования по диагонали. |
Диагональная матрица | Квадратная матрица, в которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. |
Матрица дискретного преобразования Фурье | Умножение на вектор дает в результате ДПФ этого вектора. |
Элементарная матрица | Квадратная матрица, полученная применением элементарной операции над строками к единичной матрице. |
Эквивалентная матрица | Матрица, которая может быть получена из другой матрицы посредством последовательности элементарных операций над строками или столбцами. |
Матрица Фробениуса | Квадратная матрица, имеющая вид единичной матрицы, но с произвольными элементами в одном столбце ниже главной диагонали. |
GCD-матрица | Матрица, у которой в качестве элемента находится наибольший общий делитель. |
Обобщенная матрица перестановок | Квадратная матрица, в каждой строке и каждом столбце которой ровно один ненулевой элемент. |
Матрица Хадамара | Квадратная матрица с элементами +1, −1, строки которой взаимно ортогональны. |
Матрица Хенкеля | Матрица с постоянными косодиагоналями; также перевернутая матрица Топлица. Квадратная матрица Хенкеля симметрична. |
Эрмитова матрица | Квадратная матрица, равная своей сопряженной транспонированной матрице, A = A*. |
Матрица Гессенберга | "Почти" треугольная матрица, например, верхняя матрица Гессенберга имеет нулевые элементы ниже первой поддиагонали. |
Полая матрица | Квадратная матрица, основная диагональ которой состоит только из нулевых элементов. |
Целочисленная матрица | Матрица, элементы которой являются целыми числами. |
Логическая матрица | Матрица, все элементы которой либо 0, либо 1. | Синоним (0,1)-матрицы, бинарной матрицы или булевой матрицы. Может использоваться для представления k-адичного отношения.
Марковская матрица | Матрица неотрицательных вещественных чисел, такая что сумма элементов в каждой строке равна 1. |
Матрица Метцлера | Матрица, внедиагональные элементы которой неотрицательны. |
Мономиальная матрица | Квадратная матрица, в каждой строке и каждом столбце которой ровно один ненулевой элемент. | Синоним обобщенной матрицы перестановок.
Матрица Мура | Строка состоит из a, aq, aq², и т.д., и каждая строка использует разную переменную. |
Неотрицательная матрица | Матрица, все элементы которой неотрицательны. |
Нуль-симметричная матрица | Квадратная матрица, ядро (или нулевое пространство) которой равно ее транспонированной матрице, N(A) = N(A<sup>T</sup>) или ker(A) = ker(A<sup>T</sup>). | Синоним ядерно-симметричных матриц. Примеры включают (но не ограничиваются ими) симметричные, кососимметричные и нормальные матрицы.
Нуль-эрмитова матрица | Квадратная матрица, ядро (или нулевое пространство) которой равно ее сопряженной транспонированной матрице, N(A) = N(A*) или ker(A) = ker(A*). | Синоним ядерно-эрмитовых матриц. Примеры включают (но не ограничиваются ими) эрмитовы, косоэрмитовы матрицы и нормальные матрицы.
Разбитая матрица | Матрица, разбитая на подматрицы, или, эквивалентно, матрица, элементы которой сами являются матрицами, а не скалярами. | Синоним блочной матрицы.
Матрица Паризи | Блочная иерархическая матрица. Она состоит из растущих блоков, расположенных вдоль диагонали, каждый блок сам по себе является матрицей Паризи меньшего размера. В теории спиновых стекол также известна как репликационная матрица. |
Пятидиагональная матрица | Матрица, ненулевые элементы которой находятся только на главной диагонали и двух диагоналях непосредственно выше и ниже главной. |
Матрица перестановок | Матричное представление перестановки, квадратная матрица с ровно одной 1 в каждой строке и каждом столбце, и все остальные элементы равны 0. |
Персимметричная матрица | Матрица, симметричная относительно северо-восточной–юго-западной диагонали, то есть a<sub>i,j</sub> = a<sub>n-j+1, n-i+1</sub>. |
Полиномиальная матрица | Матрица, элементы которой являются полиномами. |
Положительная матрица | Матрица, все элементы которой положительны. |
Кватернионная матрица | Матрица, элементы которой являются кватернионами. |
Случайная матрица | Матрица, элементы которой являются случайными величинами. |
Матрица знаков | Матрица, элементы которой равны +1, 0 или −1. |
Сигнатурная матрица | Диагональная матрица, диагональные элементы которой равны +1 или −1. |
Матрица с одним элементом | Матрица, в которой один элемент равен единице, а остальные элементы равны нулю. |
Косоэрмитова матрица | Квадратная матрица, равная отрицательной своей сопряженной транспонированной матрице, A* = −A. |
Кососимметричная матрица | Матрица, равная отрицательной своей транспонированной матрице, A<sup>T</sup> = −A. |
Матрица с небесным профилем | Перестановка элементов полосатой матрицы, требующая меньше места. |
Разреженная матрица | Матрица с относительно небольшим количеством ненулевых элементов. Алгоритмы для разреженных матриц могут обрабатывать огромные разреженные матрицы, которые непрактичны для алгоритмов для плотных матриц. |
Симметричная матрица | Квадратная матрица, равная своей транспонированной матрице, A = A<sup>T</sup> (a<sub>i,j</sub> = a<sub>j,i</sub>). |
Матрица Топлица | Матрица с постоянными диагоналями. |
Тотально положительная матрица | Матрица, определители всех ее квадратных подматриц положительны. |
Треугольная матрица | Матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю (нижняя треугольная) или все элементы ниже главной диагонали равны нулю (верхняя треугольная). |
Тридиагональная матрица | Матрица, ненулевые элементы которой находятся только на главной диагонали и двух диагоналях непосредственно выше и ниже главной. |
X–Y–Z матрица | Обобщение концепции двумерного массива до трех измерений. |
Матрица Вандермонда | Строка состоит из 1, a, a<sup>2</sup>, a<sup>3</sup> и т.д., и каждая строка использует разную переменную. |
Матрица Уолша | Квадратная матрица, размерность которой является степенью 2, элементы которой равны +1 или −1, и скалярное произведение любых двух различных строк (или столбцов) равно нулю. |
Z-матрица | Матрица, все внедиагональные элементы которой меньше нуля. |
The following lists matrices whose entries are subject to certain conditions. Many of them apply to square matrices only, that is matrices with the same number of columns and rows. The main diagonal of a square matrix is the diagonal joining the upper left corner and the lower right one or equivalently the entries ai,i. The other diagonal is called anti diagonal (or counter diagonal). Name Explanation Notes, references (0,1) matrix A matrix with all elements either 0 or 1. Synonym for binary matrix or logical matrix. Alternant matrix A matrix in which successive columns have a particular function applied to their entries. Alternating sign matrix A square matrix with entries 0, 1 and −1 such that the sum of each row and column is 1 and the nonzero entries in each row and column alternate in sign. Anti diagonal matrix A square matrix with all entries off the anti diagonal equal to zero. Anti Hermitian matrix Synonym for skew Hermitian matrix. Anti symmetric matrix Synonym for skew symmetric matrix. Arrowhead matrix A square matrix containing zeros in all entries except for the first row, first column, and main diagonal. Band matrix A square matrix whose non zero entries are confined to a diagonal band. Bidiagonal matrix A matrix with elements only on the main diagonal and either the superdiagonal or subdiagonal. Sometimes defined differently, see article. Binary matrix A matrix whose entries are all either 0 or 1. Synonym for (0,1) matrix or logical matrix. Bisymmetric matrix A square matrix that is symmetric with respect to its main diagonal and its main cross diagonal. Block diagonal matrix A block matrix with entries only on the diagonal. Block matrix A matrix partitioned in sub matrices called blocks. Block tridiagonal matrix A block matrix which is essentially a tridiagonal matrix but with submatrices in place of scalar elements. Boolean matrix A matrix whose entries are taken from a Boolean algebra. Cauchy matrix A matrix whose elements are of the form 1/(xi + yj) for (xi), (yj) injective sequences (i. e., taking every value only once). Centrosymmetric matrix A matrix symmetric about its center; i. e., aij = an−i+1,n−j+1. Circulant matrix A matrix where each row is a circular shift of its predecessor. Conference matrix A square matrix with zero diagonal and +1 and −1 off the diagonal, such that CTC is a multiple of the identity matrix. Complex Hadamard matrix A matrix with all rows and columns mutually orthogonal, whose entries are unimodular. Compound matrix A matrix whose entries are generated by the determinants of all minors of a matrix. Copositive matrix A square matrix A with real coefficients, such that is nonnegative for every nonnegative vector x Diagonally dominant matrix A matrix whose entries satisfy Diagonal matrix A square matrix with all entries outside the main diagonal equal to zero. Discrete Fourier transform matrix Multiplying by a vector gives the DFT of the vector as result. Elementary matrix A square matrix derived by applying an elementary row operation to the identity matrix. Equivalent matrix A matrix that can be derived from another matrix through a sequence of elementary row or column operations. Frobenius matrix A square matrix in the form of an identity matrix but with arbitrary entries in one column below the main diagonal. GCD matrix The matrix having the greatest common divisor as its entry, where Generalized permutation matrix A square matrix with precisely one nonzero element in each row and column. Hadamard matrix A square matrix with entries +1, −1 whose rows are mutually orthogonal. Hankel matrix A matrix with constant skew diagonals; also an upside down Toeplitz matrix. A square Hankel matrix is symmetric. Hermitian matrix A square matrix which is equal to its conjugate transpose, A = A*. Hessenberg matrix An "almost" triangular matrix, for example, an upper Hessenberg matrix has zero entries below the first subdiagonal. Hollow matrix A square matrix whose main diagonal comprises only zero elements. Integer matrix A matrix whose entries are all integers. Logical matrix A matrix with all entries either 0 or 1. Synonym for (0,1) matrix, binary matrix or Boolean matrix. Can be used to represent a k adic relation. Markov matrix A matrix of non negative real numbers, such that the entries in each row sum to 1. Metzler matrix A matrix whose off diagonal entries are non negative. Monomial matrix A square matrix with exactly one non zero entry in each row and column. Synonym for generalized permutation matrix. Moore matrix A row consists of a, aq, aq², etc., and each row uses a different variable. Nonnegative matrix A matrix with all nonnegative entries. Null symmetric matrixA square matrix whose null space (or kernel) is equal to its transpose, N(A) = N(AT) or ker(A) = ker(AT). Synonym for kernel symmetric matrices. Examples include (but not limited to) symmetric, skew symmetric, and normal matrices. Null Hermitian matrixA square matrix whose null space (or kernel) is equal to its conjugate transpose, N(A)=N(A*) or ker(A)=ker(A*). Synonym for kernel Hermitian matrices. Examples include (but not limited) to Hermitian, skew Hermitian matrices, and normal matrices. Partitioned matrix A matrix partitioned into sub matrices, or equivalently, a matrix whose entries are themselves matrices rather than scalars. Synonym for block matrix. Parisi matrix A block hierarchical matrix. It consist of growing blocks placed along the diagonal, each block is itself a Parisi matrix of a smaller size. In theory of spin glasses is also known as a replica matrix. Pentadiagonal matrix A matrix with the only nonzero entries on the main diagonal and the two diagonals just above and below the main one. Permutation matrix A matrix representation of a permutation, a square matrix with exactly one 1 in each row and column, and all other elements 0. Persymmetric matrix A matrix that is symmetric about its northeast–southwest diagonal, i. e., aij = an−j+1,n−i+1. Polynomial matrix A matrix whose entries are polynomials. Positive matrix A matrix with all positive entries. Quaternionic matrix A matrix whose entries are quaternions. Random matrix A matrix whose entries are random variables Sign matrix A matrix whose entries are either +1, 0, or −1. Signature matrix A diagonal matrix where the diagonal elements are either +1 or −1. Single entry matrix A matrix where a single element is one and the rest of the elements are zero. Skew Hermitian matrix A square matrix which is equal to the negative of its conjugate transpose, A* = −A. Skew symmetric matrix A matrix which is equal to the negative of its transpose, AT = −A. Skyline matrix A rearrangement of the entries of a banded matrix which requires less space. Sparse matrix A matrix with relatively few non zero elements. Sparse matrix algorithms can tackle huge sparse matrices that are utterly impractical for dense matrix algorithms. Symmetric matrix A square matrix which is equal to its transpose, A = AT (ai,j = aj,i). Toeplitz matrix A matrix with constant diagonals. Totally positive matrix A matrix with determinants of all its square submatrices positive. Triangular matrix A matrix with all entries above the main diagonal equal to zero (lower triangular) or with all entries below the main diagonal equal to zero (upper triangular). Tridiagonal matrix A matrix with the only nonzero entries on the main diagonal and the diagonals just above and below the main one. X–Y–Z matrixA generalization to three dimensions of the concept of two dimensional array Vandermonde matrix A row consists of 1, a, a2, a3, etc., and each row uses a different variable. Walsh matrix A square matrix, with dimensions a power of 2, the entries of which are +1 or −1, and the property that the dot product of any two distinct rows (or columns) is zero. Z matrix A matrix with all off diagonal entries less than zero.
Матрицы, созданные конкретными данными
Название Определение Комментарии Адъюгированная матрица Транспонирование кофакторной матрицы Обратная матрица равна ее адъюгированной матрице, деленной на ее определитель Дополненная матрица Матрица, строки которой являются конкатенацией строк двух меньших матриц Используется для выполнения одних и тех же строчных операций над двумя матрицами Матрица Безу Квадратная матрица, определитель которой является результирующим многочленом двух полиномов См. также матрица Сильвестра Матрица Карлемана Бесконечная матрица коэффициентов разложения Тейлора аналитической функции и ее целых степеней Композиция двух функций может быть выражена как произведение их матриц Карлемана Матрица Картана Матрица, связанная либо с конечномерной ассоциативной алгеброй, либо с полупростой алгеброй Ли Кофакторная матрица Образована кофакторами квадратной матрицы, то есть знаковыми минорами матрицы Транспонирование адъюгированной матрицы Присоединенная матрица Матрица-компаньон Матрица, у которой коэффициенты многочлена являются последним столбцом, а сам многочлен является ее характеристическим многочленом Матрица Коксетера Матрица, описывающая соотношения между инволюциями, порождающими группу Коксетера Матрица расстояний Квадратная матрица, образованная попарными расстояниями между точками Множество точек Евклидова матрица расстояний является частным случаем Евклидова матрица расстояний Матрица, описывающая попарные расстояния между точками в евклидовом пространстве См. также матрица расстояний Фундаментальная матрица Матрица, образованная фундаментальными решениями системы линейных дифференциальных уравнений Генераторная матрица В теории кодирования матрица, строки которой образуют линейный код Грамовская матрица Симметричная матрица попарных скалярных произведений набора векторов в пространстве с внутренним произведением Матрица Гессе Квадратная матрица вторых частных производных функции нескольких переменных Матрица Хаусхолдера Матрица отражения относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат Матрица Якоби Матрица частных производных функции нескольких переменных Матрица моментов Используется в статистике и оптимизации суммы квадратов Матрица выигрышей Матрица в теории игр и экономике, представляющая выигрыши в нормальной форме игры, где игроки ходят одновременно Матрица Пика Матрица, возникающая при изучении задач аналитической интерполяции Матрица поворота Матрица, представляющая поворот Матрица Зейферта Матрица в теории узлов, в основном для алгебраического анализа топологических свойств узлов и зацеплений Полином Александра Матрица сдвига Матрица сдвига Матрица подобия Матрица оценок, выражающих сходство между двумя точками данных Выравнивание последовательностей Матрица Сильвестра Квадратная матрица, элементы которой берутся из коэффициентов двух полиномов Матрица Сильвестра невырождена тогда и только тогда, когда два полинома взаимно просты Симплектическая матрица Реальная матрица симплектического преобразования Матрица преобразования Матрица линейного или геометрического преобразования Матрица Веддерберна Матрица вида , используемая для понижения ранга и бисопряженных разложений Анализ разложений матриц
Name Definition Comments Adjugate matrix Transpose of the cofactor matrix The inverse of a matrix is its adjugate matrix divided by its determinant Augmented matrix Matrix whose rows are concatenations of the rows of two smaller matrices Used for performing the same row operations on two matrices Bézout matrix Square matrix whose determinant is the resultant of two polynomials See also Sylvester matrix Carleman matrix Infinite matrix of the Taylor coefficients of an analytic function and its integer powers The composition of two functions can be expressed as the product of their Carleman matrices Cartan matrix A matrix associated with either a finite dimensional associative algebra, or a semisimple Lie algebra Cofactor matrix Formed by the cofactors of a square matrix, that is, the signed minors, of the matrix Transpose of the Adjugate matrix Companion matrix A matrix having the coefficients of a polynomial as last column, and having the polynomial as its characteristic polynomial Coxeter matrix A matrix which describes the relations between the involutions that generate a Coxeter group Distance matrix The square matrix formed by the pairwise distances of a set of points Euclidean distance matrix is a special case Euclidean distance matrix A matrix that describes the pairwise distances between points in Euclidean space See also distance matrix Fundamental matrix The matrix formed from the fundamental solutions of a system of linear differential equations Generator matrix In Coding theory, a matrix whose rows span a linear code Gramian matrix The symmetric matrix of the pairwise inner products of a set of vectors in an inner product space Hessian matrix The square matrix of second partial derivatives of a function of several variables Householder matrix The matrix of a reflection with respect to a hyperplane passing through the origin Jacobian matrix The matrix of the partial derivatives of a function of several variables Moment matrix Used in statistics and Sum of squares optimization Payoff matrix A matrix in game theory and economics, that represents the payoffs in a normal form game where players move simultaneously Pick matrix A matrix that occurs in the study of analytical interpolation problems Rotation matrix A matrix representing a rotation Seifert matrix A matrix in knot theory, primarily for the algebraic analysis of topological properties of knots and links. Alexander polynomial Shear matrix The matrix of a shear transformation Similarity matrix A matrix of scores which express the similarity between two data points Sequence alignment Sylvester matrix A square matrix whose entries come from the coefficients of two polynomials The Sylvester matrix is nonsingular if and only if the two polynomials are coprime to each other Symplectic matrix The real matrix of a symplectic transformation Transformation matrix The matrix of a linear transformation or a geometric transformation Wedderburn matrix A matrix of the form , used for rank reduction & biconjugate decompositions Analysis of matrix decompositions
Матрицы, используемые в теории графов
Следующие матрицы находят свое основное применение в теории графов и сетей. Матрица смежности — квадратная матрица, представляющая граф, где элемент aij отличен от нуля, если вершина i и вершина j смежны. Матрица двудольного прилежания — специальный класс матрицы смежности, описывающий прилежание в двудольных графах. Матрица степеней — диагональная матрица, определяющая степень каждой вершины в графе. Матрица Эдмондса — квадратная матрица двудольного графа. Матрица инцидентности — матрица, представляющая связь между двумя классами объектов (обычно вершинами и ребрами в контексте теории графов). Матрица Лапласа — матрица, равная матрице степеней минус матрица смежности для графа, используемая для определения количества остовных деревьев в графе. Матрица соседства Зайделя — матрица, подобная обычной матрице смежности, но с −1 для смежности, +1 для несмежности и 0 на диагонали. Матрица скошенной смежности — матрица смежности, в которой каждый ненулевой элемент aij равен 1 или −1 в зависимости от того, совпадает или противоположна ориентация i → j изначально заданной ориентации. Матрица Тютте — обобщение матрицы Эдмондса для сбалансированного двудольного графа.
The following matrices find their main application in graph and network theory. Adjacency matrix — a square matrix representing a graph, with aij non zero if vertex i and vertex j are adjacent. Biadjacency matrix — a special class of adjacency matrix that describes adjacency in bipartite graphs. Degree matrix — a diagonal matrix defining the degree of each vertex in a graph. Edmonds matrix — a square matrix of a bipartite graph. Incidence matrix — a matrix representing a relationship between two classes of objects (usually vertices and edges in the context of graph theory). Laplacian matrix — a matrix equal to the degree matrix minus the adjacency matrix for a graph, used to find the number of spanning trees in the graph. Seidel adjacency matrix — a matrix similar to the usual adjacency matrix but with −1 for adjacency; +1 for nonadjacency; 0 on the diagonal. Skew adjacency matrix — an adjacency matrix in which each non zero aij is 1 or −1, accordingly as the direction i → j matches or opposes that of an initially specified orientation. Tutte matrix — a generalization of the Edmonds matrix for a balanced bipartite graph.
Матрицы, используемые в науке и технике
Матрица Каббибо — Кобаяси — Маскава — унитарная матрица, используемая в физике частиц для описания силы вкусовых изменений при слабых распадах. Матрица плотности — матрица, описывающая статистическое состояние квантовой системы. Гермитова, неотрицательная и с трассой, равной 1. Фундаментальная матрица (компьютерное зрение) — матрица 3 × 3 в компьютерном зрении, связывающая соответствующие точки в стереоизображениях. Нечёткая ассоциативная матрица — матрица в искусственном интеллекте, используемая в процессах машинного обучения. Гамма-матрицы — матрицы 4 × 4 в квантовой теории поля. Матрицы Гелл-Манна — обобщение матриц Паули; эти матрицы являются одним из заметных представлений бесконечно малых генераторов специальной унитарной группы SU(3). Матрица Гамильтона — матрица, используемая в различных областях, включая квантовую механику и системы линейно-квадратичного регулятора (LQR). Нерегулярная матрица — матрица, используемая в информатике, имеющая переменное количество элементов в каждой строке. Матрица перекрытия — тип матрицы Грама, используемый в квантовой химии для описания взаимосвязи набора базисных векторов квантовой системы. S-матрица — матрица в квантовой механике, связывающая асимптотические (бесконечно удалённое прошлое и будущее) состояния частиц. Матрица рассеяния — матрица в микроволновой инженерии, описывающая, как мощность перемещается в многопортовой системе. Матрица перехода состояний — экспонента матрицы состояний в системах управления. Матрица подстановки — матрица из биоинформатики, описывающая скорости мутаций аминокислотных или ДНК-последовательностей. Матрица Супника — квадратная матрица, используемая в информатике. Z-матрица — матрица в химии, представляющая молекулу с точки зрения её относительной атомной геометрии.
Cabibbo–Kobayashi–Maskawa matrix — a unitary matrix used in particle physics to describe the strength of flavour changing weak decays. Density matrix — a matrix describing the statistical state of a quantum system. Hermitian, non negative and with trace 1. Fundamental matrix (computer vision) — a 3 × 3 matrix in computer vision that relates corresponding points in stereo images. Fuzzy associative matrix — a matrix in artificial intelligence, used in machine learning processes. Gamma matrices — 4 × 4 matrices in quantum field theory. Gell Mann matrices — a generalization of the Pauli matrices; these matrices are one notable representation of the infinitesimal generators of the special unitary group SU(3). Hamiltonian matrix — a matrix used in a variety of fields, including quantum mechanics and linear quadratic regulator (LQR) systems. Irregular matrix — a matrix used in computer science which has a varying number of elements in each row. Overlap matrix — a type of Gramian matrix, used in quantum chemistry to describe the inter relationship of a set of basis vectors of a quantum system. S matrix — a matrix in quantum mechanics that connects asymptotic (infinite past and future) particle states. Scattering matrix a matrix in Microwave Engineering that describes how the power move in a multiport system. State transition matrix — exponent of state matrix in control systems. Substitution matrix — a matrix from bioinformatics, which describes mutation rates of amino acid or DNA sequences. Supnick matrix — a square matrix used in computer science. Z matrix — a matrix in chemistry, representing a molecule in terms of its relative atomic geometry.
Специфические матрицы
Матрица Уилсона, матрица, используемая в качестве примера для тестовых целей.
Wilson matrix, a matrix used as an example for test purposes.