Введение
Полиномиальная последовательность – семейство ортогональных полиномов на вещественной прямой.
the family of orthogonal polynomials on the real line
В математике полиномы Эрмита являются классической ортогональной полиномиальной последовательностью. Эти полиномы возникают в:
обработке сигналов в виде эрмитовых вейвлетов для вейвлет-анализа;
теории вероятностей, например, в рядах Эджворта, а также в связи с броуновским движением;
комбинаторике, как пример последовательности Аппеля, подчиняющейся символьному исчислению;
численном анализе в качестве квадратур Гаусса;
физике, где они порождают собственные состояния квантового гармонического осциллятора, а также в некоторых случаях уравнения теплопроводности (при наличии соответствующего члена);
теории систем в связи с нелинейными операциями над гауссовским шумом и в теории случайных матриц в гауссовских ансамблях. Полиномы Эрмита были определены Пьером Симоном Лапласом в 1810 году, хотя и в малоузнаваемой форме, и подробно изучены Пафнутием Чебышевым в 1859 году. Работа Чебышева осталась незамеченной, и полиномы были названы позднее в честь Шарля Эрмита, который опубликовал работы о них в 1864 году, описывая их как новые. Таким образом, они не были новыми, хотя Эрмит первым определил многомерные полиномы.
signal processing as Hermitian wavelets for wavelet transform analysis
probability, such as the Edgeworth series, as well as in connection with Brownian motion;
combinatorics, as an example of an Appell sequence, obeying the umbral calculus;
numerical analysis as Gaussian quadrature;
physics, where they give rise to the eigenstates of the quantum harmonic oscillator; and they also occur in some cases of the heat equation (when the term is present);
systems theory in connection with nonlinear operations on Gaussian noise. random matrix theory in Gaussian ensembles. Hermite polynomials were defined by Pierre Simon Laplace in 1810, though in scarcely recognizable form, and studied in detail by Pafnuty Chebyshev in 1859. Chebyshev's work was overlooked, and they were named later after Charles Hermite, who wrote on the polynomials in 1864, describing them as new. They were consequently not new, although Hermite was the first to define the multidimensional polynomials.
Свойства
Полином Гермита n-го порядка — это полином степени n. В вероятностной версии полинома Гермита (Hen) ведущий коэффициент равен 1, а в физической версии (Hn) — 2^n.
Расширение полиномов Эрмита
Подобно разложению Тейлора, некоторые функции могут быть представлены в виде бесконечной суммы полиномов Эрмита. В частности, если , то для него существует разложение в полиномах Эрмита, используемых в физике. Для такой функции частичные суммы разложения Эрмита сходятся к в норме , если и только если .
Дифференциальное представление оператора
Вероятностные полиномы Гермита удовлетворяют тождеству, где D обозначает дифференцирование по x, а экспонента интерпретируется разложением в степенной ряд. При применении к полиномам не возникает никаких тонкостей со сходимостью этого ряда, поскольку все, кроме конечного числа членов, обращаются в ноль. Поскольку коэффициенты степенного ряда экспоненты хорошо известны, а производные высшего порядка монома x^(n) могут быть записаны явно, такое дифференциально-операторное представление приводит к явной формуле для коэффициентов Hn, которую можно использовать для быстрого вычисления этих полиномов. Поскольку формальное выражение для преобразования Вейерштрасса W равно e^(D^(2)), мы видим, что преобразование Вейерштрасса от x^(n) равно x^(n). По сути, преобразование Вейерштрасса таким образом преобразует ряд полиномов Гермита в соответствующий ряд Маклорена. Существование некоторого формального степенного ряда g(D) с ненулевым постоянным членом, такого что 1 = Hn(x) = g(D)x^(n), является еще одним эквивалентным утверждению о том, что эти полиномы образуют последовательность Аппелла. Поскольку они являются последовательностью Аппелла, то, тем более, они являются последовательностью Шеффера.