Введение
Измерение сигнала в дискретные моменты времени
В обработке сигналов, дискретизация – это преобразование непрерывного сигнала во дискретный. Распространенным примером является преобразование звуковой волны в последовательность "отсчетов". Отсчет – это значение сигнала в определенный момент времени и/или пространства; это определение отличается от использования термина в статистике, где он обозначает набор таких значений. Например, "число отсчетов" в обработке сигналов примерно соответствует "объему выборки" в статистике. Дискретизатор – это подсистема или операция, извлекающая отсчеты из непрерывного сигнала. Теоретический идеальный дискретизатор генерирует отсчеты, эквивалентные мгновенному значению непрерывного сигнала в заданных точках. Исходный сигнал может быть восстановлен из последовательности отсчетов до предела Найквиста путем пропуска этой последовательности через фильтр реконструкции.
Теория
Функции пространства, времени или любого другого измерения могут быть дискретизированы, и аналогично в двух или более измерениях. Для функций, изменяющихся во времени, пусть S(t) – непрерывная функция (или «сигнал»), которую необходимо дискретизировать, и пусть дискретизация выполняется путем измерения значения непрерывной функции каждые T секунд, что называется интервалом дискретизации или периодом дискретизации. Тогда дискретизированная функция задается последовательностью:
S(nT), для целых значений n.
Частота дискретизации, fs, – это среднее количество отсчетов, полученных за одну секунду, таким образом, 1/fs = 1/T, с единицей измерения – отсчеты в секунду, иногда называемой герцами, например, 48 кГц – это 48 000 отсчетов в секунду. Реконструкция непрерывной функции по отсчетам выполняется с помощью алгоритмов интерполяции. Формула интерполяции Уиттакера — Шеннона математически эквивалентна идеальному фильтру нижних частот, входным сигналом которого является последовательность дельта-функций Дирака, модулированных (умноженных) на значения отсчетов. Когда временной интервал между соседними отсчетами постоянен (T), последовательность дельта-функций называется гребенем Дирака. Математически модулированный гребень Дирака эквивалентен произведению гребёнчатой функции на s(t). Эта математическая абстракция иногда называется импульсной дискретизацией. Большинство дискретизированных сигналов не просто хранятся и восстанавливаются. Точность теоретической реконструкции является распространенной мерой эффективности дискретизации. Эта точность снижается, когда s(t) содержит частотные компоненты, период которых меньше 2 интервалов дискретизации (см. эффект наложения спектров – алиасинг). Соответствующий частотный предел, в циклах в секунду (герцах), равен 0,5 цикла/отсчет × fs отсчетов/секунду = fs/2, известный как частота Найквиста дискретизатора. Поэтому s(t) обычно является выходом фильтра нижних частот, функционально известного как антиалиасинговый фильтр. Без антиалиасингового фильтра частоты выше частоты Найквиста будут влиять на отсчеты таким образом, что они будут неверно интерпретированы процессом интерполяции.
S(nT), for integer values of n.
The sampling frequency or sampling rate, fs, is the average number of samples obtained in one second, thus 1=fs = 1/T, with the unit samples per second, sometimes referred to as hertz, for example e. g. 48 kHz is 48,000 samples per second. Reconstructing a continuous function from samples is done by interpolation algorithms. The Whittaker–Shannon interpolation formula is mathematically equivalent to an ideal low pass filter whose input is a sequence of Dirac delta functions that are modulated (multiplied) by the sample values. When the time interval between adjacent samples is a constant (T), the sequence of delta functions is called a Dirac comb. Mathematically, the modulated Dirac comb is equivalent to the product of the comb function with s(t). That mathematical abstraction is sometimes referred to as impulse sampling. Most sampled signals are not simply stored and reconstructed. The fidelity of a theoretical reconstruction is a common measure of the effectiveness of sampling. That fidelity is reduced when s(t) contains frequency components whose cycle length (period) is less than 2 sample intervals (see Aliasing). The corresponding frequency limit, in cycles per second (hertz), is 0.5 cycle/sample × fs samples/second = fs/2, known as the Nyquist frequency of the sampler. Therefore, s(t) is usually the output of a low pass filter, functionally known as an anti aliasing filter. Without an anti aliasing filter, frequencies higher than the Nyquist frequency will influence the samples in a way that is misinterpreted by the interpolation process.
Глубина битов
Аудио обычно записывается с разрядностью 8, 16 и 24 бит, что обеспечивает теоретически максимальное отношение сигнал/квантование (SQNR) для чистой синусоидальной волны примерно в 49,93 дБ, 98,09 дБ и 122,17 дБ соответственно. Аудио CD-качества использует 16-битные сэмплы. Тепловой шум ограничивает реальную разрядность, которую можно использовать при квантовании. Лишь немногие аналоговые системы имеют отношение сигнал/шум (SNR) выше 120 дБ. Однако операции цифровой обработки сигналов могут иметь очень широкий динамический диапазон, поэтому смешивание и мастеринг обычно выполняются с точностью 32 бита, а затем конвертируются в 16 или 24 бита для распространения.
Обработка речи
Речевые сигналы, то есть сигналы, предназначенные для передачи исключительно человеческой речи, обычно могут быть дискретизированы с гораздо более низкой частотой. Для большинства фонем почти вся энергия сосредоточена в диапазоне 100 Гц – 4 кГц, что позволяет использовать частоту дискретизации 8 кГц. Эта частота дискретизации используется практически всеми телефонными системами, применяющими спецификации дискретизации и квантования G.711.
3D-отбор проб
Процесс объемного рендеринга дискретизирует трехмерную сетку вокселей для создания трехмерных изображений срезовых (томографических) данных. Трехмерная сетка рассматривается как представление непрерывной области трехмерного пространства. Объемный рендеринг широко применяется в медицинской визуализации, примерами являются рентгеновская компьютерная томография (КТ/КАТ), магнитно-резонансная томография (МРТ) и позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ). Он также используется в сейсмической томографии и других областях.
Недобработка
Когда полосно-пропускной сигнал дискретизируется с частотой, меньшей частоты Найквиста, полученные отсчеты неотличимы от отсчетов низкочастотного зеркального сигнала высокочастотного сигнала. Это часто делается намеренно таким образом, чтобы наименьшее зеркальное отражение удовлетворяло критерию Найквиста, поскольку полосно-пропускной сигнал все равно однозначно представлен и может быть восстановлен. Такая неполная дискретизация также известна как дискретизация с полосой пропускания, гармоническая дискретизация, дискретизация промежуточной частоты (ПЧ) и прямое преобразование ПЧ в цифровую форму.
Переборка
Передискретизация используется в большинстве современных аналого-цифровых преобразователей для снижения искажений, вносимых реальными цифро-аналоговыми преобразователями, такими как схема удержания нулевого порядка, в отличие от идеализированных моделей, например, формулы интерполяции Уиттакера — Шеннона.
Комплексный отбор проб
Комплексная выборка (или I/Q выборка) — это одновременная выборка двух различных, но связанных, сигналов, в результате чего получаются пары отсчетов, которые впоследствии рассматриваются как комплексные числа. Пары отсчетов также иногда представляются в виде точек на диаграмме созвездия. Если один сигнал является преобразованием Гильберта другого сигнала, то комплексная функция называется аналитическим сигналом, преобразование Фурье которого равно нулю для всех отрицательных значений частоты. В этом случае частота Найквиста для сигнала, не содержащего частот ≥ B, может быть уменьшена до B (комплексных отсчетов/с) вместо 2B (действительных отсчетов/с). Более того, эквивалентный сигнал базовой полосы также имеет частоту Найквиста B, поскольку весь его ненулевой частотный спектр сдвинут в интервал [–B/2, B/2]. Хотя комплексные отсчеты могут быть получены, как описано выше, они также могут быть созданы путем обработки отсчетов действительного сигнала. Например, эквивалентный сигнал базовой полосы можно создать без явного вычисления преобразования Гильберта, обрабатывая произведение отсчетов через цифровой фильтр нижних частот с частотой среза B/2. Последовательность комплексных чисел свертывается с импульсной характеристикой фильтра с действительными коэффициентами. Это эквивалентно раздельной фильтрации последовательностей действительных и мнимых частей с последующим формированием комплексных пар на выходе. Вычисление только каждого второго отсчета выходной последовательности снижает частоту дискретизации пропорционально уменьшенной частоте Найквиста. В результате получается вдвое меньше комплексных отсчетов, чем исходное количество действительных отсчетов. Информация не теряется, и исходный сигнал s(t) может быть восстановлен при необходимости.