Древний китайский математический трактат "Математическое искусство девяти глав"

Введение

Древнекитайский математический текст "Математическое искусство в девяти книгах" – китайская математическая книга, составленная несколькими поколениями ученых в период с 10-го по 2-й век до н.э., с позднейшими дополнениями во 2-м веке н.э. Эта книга – один из самых ранних дошедших до нас математических текстов из Китая, предшествующими ей являются "Суань шу шу" (202–186 гг. до н.э.) и "Чжоуби Суаньцзин" (составлявшийся на протяжении династии Хань до конца 2-го века н.э.). В ней излагается подход к математике, ориентированный на поиск наиболее общих методов решения задач, что отличается от подхода, характерного для древнегреческих математиков, которые стремились выводить теоремы из исходного набора аксиом. Записи в книге обычно состоят из формулировки задачи, затем представления решения и объяснения процедуры, приведшей к этому решению. В 3-м веке эти записи были прокомментированы Лю Хуэйем.

Оригинальная книга

Полный заголовок «Девяти глав о математическом искусстве» встречается на двух бронзовых эталонных мерах, датированных 179 годом н.э., однако существует предположение, что эта же книга существовала и ранее под другими названиями. Упоминание названия также содержится в 24-м томе «Книги Поздней Хань» как одна из книг, изучавшихся Ма Сюй (馬續). Исходя из известных дат жизни его младшего брата Ма Жуна (馬融), это отодвигает дату создания не позднее 93 года н.э. Большинство ученых полагают, что китайская математика и математика древнего Средиземноморья развивались более или менее независимо друг от друга до того момента, когда «Девять глав» приобрели окончательную форму. Метод, описанный в главе 7, не был известен в Европе до XIII века, а метод главы 8 использует метод, аналогичный исключению Гаусса, задолго до Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). В трактате также приведено математическое доказательство теоремы Пифагора. Влияние «Девяти глав» значительно способствовало развитию древней математики в Корее и Японии. Его влияние на математическую мысль в Китае сохранялось вплоть до эпохи династии Цин. Лю Хуэй написал подробный комментарий в 263 году. Он анализирует процедуры «Девяти глав» шаг за шагом, стремясь убедить читателя в их надежности, хотя он не стремится предоставить формальные доказательства в духе Евклида. Комментарий Лю представляет собой значительный интерес для математики как таковой. Лю приписывает заслуги более ранним математикам Чжан Цану (fl. 165–142 гг. до н.э.) и Гэн Шоучану (fl. 75–49 гг. до н.э.) (см. армиллярную сферу) в первоначальной систематизации и комментировании книги, однако в записях династии Хань не указаны имена авторов комментариев, поскольку они не упоминаются до III века. «Девять глав» – это анонимный труд, и его происхождение неясно. До недавнего времени не существовало существенных свидетельств существования связанных математических текстов, которые могли бы предшествовать ему, за исключением работ таких ученых, как Цзин Фан (78–37 гг. до н.э.), Лю Синь (ум. 23 г.) и Чжан Хэн (78–139 гг.) и геометрических положений «Мо-цзы» IV века до н.э. Однако ситуация изменилась. «Суань шу шу» (算數書), или «Трактат о вычислениях», – это древний китайский математический текст объемом около семи тысяч иероглифов, написанный на 190 бамбуковых полосках. Он был обнаружен вместе с другими надписями в 1983 году, когда археологи вскрыли гробницу в провинции Хубэй. Он входит в корпус текстов, известных как бамбуковые тексты Чжанцзяшаньского Хань. Из документальных свидетельств известно, что гробница была запечатана в 186 году до н.э., в начале династии Западных Хань. Хотя связь «Суань шу шу» с «Девятью главами» все еще обсуждается учеными, некоторые его положения явно перекликаются с положениями «Девяти глав». Однако текст «Суань шу шу» гораздо менее систематичен, чем «Девять глав», и, по-видимому, состоит из ряда более или менее независимых коротких разделов, взятых из различных источников. «Чжоуби Суаньцзин», математический и астрономический текст, также был составлен во времена Хань и даже упоминался как математическая школа в 180 году н.э. и около этого времени Цай Юном.

The full title of The Nine Chapters on the Mathematical Art appears on two bronze standard measures which are dated to 179 CE, but there is speculation that the same book existed beforehand under different titles. The title is also mentioned in volume 24 of the Book of the Later Han as one of the books studied by Ma Xu (馬續). Based on the known dates of his younger brother Ma Rong (馬融) this places the date of composition no later than 93 CE. Most scholars believe that Chinese mathematics and the mathematics of the ancient Mediterranean world had developed more or less independently up to the time when The Nine Chapters reached its final form. The method of chapter 7 was not found in Europe until the 13th century, and the method of chapter 8 uses Gaussian elimination before Carl Friedrich Gauss (1777–1855). There is also the mathematical proof given in the treatise for the Pythagorean theorem. The influence of The Nine Chapters greatly assisted the development of ancient mathematics in the regions of Korea and Japan. Its influence on mathematical thought in China persisted until the Qing dynasty era. Liu Hui wrote a detailed commentary in 263. He analyses the procedures of The Nine Chapters step by step, in a manner which is clearly designed to give the reader confidence that they are reliable, although he is not concerned to provide formal proofs in the Euclidean manner. Liu's commentary is of great mathematical interest in its own right. Liu credits the earlier mathematicians Zhang Cang (fl. 165 BCE – d. 142 BCE) and Geng Shouchang (fl. 75 BCE – 49 BCE) (see armillary sphere) with the initial arrangement and commentary on the book, yet Han dynasty records do not indicate the names of any authors of commentary, as they are not mentioned until the 3rd century. The Nine Chapters is an anonymous work, and its origins are not clear. Until recent years, there was no substantial evidence of related mathematical writing that might have preceded it, with the exception of mathematical work by those such as Jing Fang (78–37 BCE), Liu Xin (d. 23), and Zhang Heng (78–139) and the geometry clauses of the Mozi of the 4th century BCE. This is no longer the case. The Suàn shù shū (算數書) or Writings on Reckonings is an ancient Chinese text on mathematics approximately seven thousand characters in length, written on 190 bamboo strips. It was discovered together with other writings in 1983 when archaeologists opened a tomb in Hubei province. It is among the corpus of texts known as the Zhangjiashan Han bamboo texts. From documentary evidence this tomb is known to have been closed in 186 BCE, early in the Western Han dynasty. While its relationship to The Nine Chapters is still under discussion by scholars, some of its contents are clearly paralleled there. The text of the Suàn shù shū is however much less systematic than The Nine Chapters; and appears to consist of a number of more or less independent short sections of text drawn from a number of sources. The Zhoubi Suanjing, a mathematics and astronomy text, was also compiled during the Han, and was even mentioned as a school of mathematics in and around 180 CE by Cai Yong.

Западные переводы

Название книги было переведено самыми разными способами. В 1852 году Александр Уайли назвал её «Арифметические правила девяти разделов». С незначительным изменением японский историк математики Йосио Миками сократил название до «Арифметика в девяти разделах». Дэвид Юджин Смит в своей «Истории математики» (Smith 1923) последовал конвенции, используемой Йосио Миками. Несколько лет спустя Джордж Сартон обратил внимание на книгу, но лишь поверхностно, упомянув лишь об использовании красных и чёрных стержней для обозначения положительных и отрицательных чисел. В 1959 году Джозеф Нидхэм и Ван Лин (историк) впервые перевели «Джиу Чжан Суань Шу» как «Девять глав об искусстве вычислений». Позже, в 1994 году, Лам Лэй Ён использовала этот заголовок в своём обзоре книги, как и другие математики, включая Джона Н. Кросс ли и Энтони В. К. Луна в их переводе «Китайская математика Ли Яна и Ду Ширана: краткая история» (Li and Du 1987). 米 Суми – Просо и рис. Обмен товарами по разным курсам; установление цены за единицу; правило трёх для решения пропорций с использованием дробей. 衰分 Куйфэнь – Пропорциональное распределение. Распределение товаров и денег по пропорциональным ставкам; вывод арифметических и геометрических сумм. 少廣 Шаогуан – Уменьшение размеров. Определение диаметра или стороны фигуры по её объёму или площади. Деление на смешанные числа; извлечение квадратного и кубического корней; диаметр сферы, периметр и диаметр круга. 商功 Шангун – Расчёт для строительства. Объёмы тел различной формы. 均輸 Цзюньшу – Равномерное налогообложение. Более сложные задачи на пропорции, включающие работу, расстояния и скорости. 盈不足 Инбудзу – Избыток и недостаток. Линейные задачи (с двумя неизвестными), решаемые с использованием принципа, позднее известного на Западе как метод ложных положений. 方程 Фанчэн – Двусторонний расчёт (т.е. уравнения). Задачи о сельскохозяйственных урожаях и продаже животных, приводящие к системам линейных уравнений, решаемым методом, неотличимым от современной формы метода Гаусса. 勾股 Гоугу – Катет и гипотенуза. Задачи, связанные с принципом, известным на Западе как теорема Пифагора.

The title of the book has been translated in a wide variety of ways. In 1852, Alexander Wylie referred to it as Arithmetical Rules of the Nine Sections. With only a slight variation, the Japanese historian of mathematics Yoshio Mikami shortened the title to Arithmetic in Nine Sections. David Eugene Smith, in his History of Mathematics (Smith 1923), followed the convention used by Yoshio Mikami. Several years later, George Sarton took note of the book, but only with limited attention and only mentioning the usage of red and black rods for positive and negative numbers. In 1959, Joseph Needham and Wang Ling (historian) translated Jiu Zhang Suan shu as The Nine Chapters on the Mathematical Art for the first time. Later in 1994, Lam Lay Yong used this title in her overview of the book, as did other mathematicians including John N. Crossley and Anthony W. C Lun in their translation of Li Yan and Du Shiran's Chinese Mathematics: A Concise History (Li and Du 1987). 粟米 Sumi – Millet and rice. Exchange of commodities at different rates; unit pricing; the Rule of Three for solving proportions, using fractions. 衰分 Cuifen – Proportional distribution. Distribution of commodities and money at proportional rates; deriving arithmetic and geometric sums. 少廣 Shaoguang – Reducing dimensions. Finding the diameter or side of a shape given its volume or area. Division by mixed numbers; extraction of square and cube roots; diameter of sphere, perimeter and diameter of circle. 商功 Shanggong – Figuring for construction. Volumes of solids of various shapes. 均輸 Junshu – Equitable taxation. More advanced word problems on proportion, involving work, distances, and rates. 盈不足 Yingbuzu – Excess and deficit. Linear problems (in two unknowns) solved using the principle known later in the West as the rule of false position. 方程 Fangcheng – The two sided reference (i. e. Equations). Problems of agricultural yields and the sale of animals that lead to systems of linear equations, solved by a principle indistinguishable from the modern form of Gaussian elimination. 勾股 Gougu – Base and altitude. Problems involving the principle known in the West as the Pythagorean theorem.

Система действительных чисел

В "Девяти главах математического искусства" не обсуждаются натуральные числа, то есть положительные целые числа и их операции, но они широко используются и излагаются на основе натуральных чисел. Хотя это не книга о дробях, в ней всесторонне рассматриваются смысл, сущность и четыре арифметических действия с дробями. Например: сложение (комбинированное деление), вычитание, умножение, деление (варп-деление), сравнение размеров (деление), сокращение (упрощение дроби) и нахождение среднего (биссектриса). Понятие отрицательных чисел также встречается в "Девяти главах арифметики". Для согласования с алгоритмом решения уравнений приводятся правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. Вычитание определяется как "вычитание одноименного, получение разности разноименного", а сложение – как "разделение разноименного, получение суммы одноименного". Здесь "разделение" означает вычитание, "получение" – сложение, а "отсутствие записи" указывает на отсутствие противоположной величины, однако операции умножения и деления не фиксируются. В связи с этим многие историки китайской математики сравнивают значение "Девяти глав математического искусства" для развития восточных математических традиций со значением "Начал" Евклида для западных математических традиций. Однако влияние "Девяти глав математического искусства" не дотягивает до уровня развития современной математики из-за акцента на практических задачах и методах индуктивного доказательства, в отличие от дедуктивной, аксиоматической традиции, заложенной Евклидом в "Началах". Тем не менее, утверждать, что "Девять глав математического искусства" не оказали никакого влияния на современную математику, было бы неверно. Стиль и структура "Девяти глав математического искусства" наилучшим образом характеризуются как "задача, формула и вычисление". Этот процесс решения прикладных математических задач в настоящее время является практически стандартным подходом в области прикладной математики.