Введение

Комплексная матрица A* получается из матрицы A путем транспонирования и комплексного сопряжения каждого элемента.

В математике, сопряжённая транспозиция, также известная как эрмитово сопряжение, комплексной матрицы – это матрица, полученная транспонированием и применением комплексного сопряжения к каждому элементу (комплексное сопряжение числа z, где z = x + iy, равно x - iy для действительных чисел x и y). Существуют различные обозначения, такие как A* или A<sup>H</sup> или A<sup>†</sup> или (часто в физике) A<sup>‡</sup>. Для вещественных матриц сопряжённая транспозиция совпадает с обычной транспозицией, A<sup>T</sup>.

Свойства конугированной транспозы

для любых двух матриц и одинаковых размеров. Для любого комплексного числа и любой матрицы Для любой матрицы и любой матрицы Обратите внимание, что порядок множителей изменен. Для любой матрицы, то есть эрмитово сопряжение является инволюцией. Если является квадратной матрицей, то, где обозначает определитель матрицы. Если является квадратной матрицей, то, где обозначает след матрицы. Матрица является обратимой тогда и только тогда, когда является обратимой, и в этом случае. Собственные значения матрицы являются комплексно сопряженными к собственным значениям матрицы. Для любой матрицы, любого вектора в и любого вектора, здесь обозначает стандартное комплексное внутреннее произведение в , и аналогично для .

Обобщения

Последнее свойство, приведенное выше, показывает, что если рассматривать как линейное преобразование из гильбертова пространства в , то матрица соответствует сопряженному оператору. Таким образом, понятие сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженной транспозиции матриц относительно ортонормального базиса. Доступно и другое обобщение: предположим, что является линейным отображением из комплексного векторного пространства в другое, , тогда определяются комплексно-сопряженное линейное отображение, а также транспонированное линейное отображение, и мы можем, таким образом, принять сопряженную транспозицию как комплексное сопряжение транспозиции. Оно отображает сопряженное двойственное пространство в сопряженное двойственное пространство.