Характеристический многочлен матрицы: определение, связь с собственными значениями, определителем и следом. Применение в линейной алгебре и теории графов.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Полином, корни которого являются собственными значениями матрицы – характеристический полином матрицы или эндоморфизма векторного пространства.
Polynomial whose roots are the eigenvalues of a matrix
the characteristic polynomial of a matrix or of an endomorphism of vector spaces
В линейной алгебре характеристический полином квадратной матрицы – это полином, инвариантный относительно преобразований подобия, корни которого являются собственными значениями матрицы. В его коэффициентах содержатся определитель и след матрицы. Характеристический полином эндоморфизма конечномерного векторного пространства является характеристическим полиномом матрицы этого эндоморфизма в любом базисе (то есть характеристический полином не зависит от выбора базиса). Характеристическое уравнение, также известное как детерминантное уравнение, – это уравнение, получаемое приравниванием характеристического полинома к нулю. В теории спектральных графов характеристический полином графа – это характеристический полином его матрицы смежности.
In linear algebra, the characteristic polynomial of a square matrix is a polynomial which is invariant under matrix similarity and has the eigenvalues as roots. It has the determinant and the trace of the matrix among its coefficients. The characteristic polynomial of an endomorphism of a finite dimensional vector space is the characteristic polynomial of the matrix of that endomorphism over any base (that is, the characteristic polynomial does not depend on the choice of a basis). The characteristic equation, also known as the determinantal equation, is the equation obtained by equating the characteristic polynomial to zero. In spectral graph theory, the characteristic polynomial of a graph is the characteristic polynomial of its adjacency matrix.
Светская функция
Термин "секулярная функция" использовался для обозначения того, что сейчас называется характеристическим полиномом (в некоторых публикациях термин "секулярная функция" всё ещё применяется). Это название возникло из-за того, что характеристический полином использовался для вычисления секулярных возмущений (в масштабе времени столетия, то есть медленных по сравнению с годовым движением) планетных орбит, в соответствии с теорией колебаний Лагранжа.
The term secular function has been used for what is now called characteristic polynomial (in some literature the term secular function is still used). The term comes from the fact that the characteristic polynomial was used to calculate secular perturbations (on a time scale of a century, that is, slow compared to annual motion) of planetary orbits, according to Lagrange's theory of oscillations.
Светское уравнение
Светское уравнение может иметь несколько значений. В линейной алгебре оно иногда используется вместо характеристического уравнения. В астрономии это алгебраическое или численное выражение величины неточностей в движении планеты, которые остаются после учёта неточностей короткого периода. В молекулярно-орбитальных расчётах, связанных с энергией электрона и его волновой функцией, оно также используется вместо характеристического уравнения.
Secular equation may have several meanings. In linear algebra it is sometimes used in place of characteristic equation. In astronomy it is the algebraic or numerical expression of the magnitude of the inequalities in a planet's motion that remain after the inequalities of a short period have been allowed for. In molecular orbital calculations relating to the energy of the electron and its wave function it is also used instead of the characteristic equation.
Для общей ассоциативной алгебры
Вышеуказанное определение характеристического многочлена матрицы с элементами из поля обобщается без изменений на случай, когда является лишь коммутативным кольцом. Он определяет характеристический многочлен для элементов произвольной конечномерной (ассоциативной, но не обязательно коммутативной) алгебры над полем и доказывает стандартные свойства характеристического многочлена в такой общей форме.
The above definition of the characteristic polynomial of a matrix with entries in a field generalizes without any changes to the case when is just a commutative ring. defines the characteristic polynomial for elements of an arbitrary finite dimensional (associative, but not necessarily commutative) algebra over a field and proves the standard properties of the characteristic polynomial in this generality.