Введение
Математическая структура для моделирования эпистемической неопределенности
Теория функций убеждений, также известная как теория доказательств или теория Демпстера — Шейфера (DST), представляет собой общую основу для рассуждений в условиях неопределенности, с установленными связями с другими подходами, такими как теория вероятностей, возможность и теории нечетких вероятностей. Впервые представленная Артуром П. Демпстером в контексте статистического вывода, теория была впоследствии развита Гленном Шафером в общую структуру для моделирования эпистемической неопределенности — математическую теорию доказательств. Теория позволяет объединять доказательства из различных источников и приходить к степени убежденности (представленной математическим объектом, называемым функцией убеждения), которая учитывает все имеющиеся доказательства. В узком смысле термин «теория Демпстера — Шейфера» относится к первоначальной концепции теории, разработанной Демпстером и Шафером. Однако чаще этот термин используется в более широком смысле, обозначая тот же общий подход, адаптированный к конкретным ситуациям. В частности, многие авторы предложили различные правила объединения доказательств, часто с целью более эффективного разрешения конфликтов в доказательствах. Ранние работы также стали отправной точкой для многих важных разработок, включая модель переносимых убеждений и теорию намеков. Иными словами, это способ представления эпистемических правдоподобий, который, однако, может давать результаты, противоречащие тем, которые получены с использованием теории вероятностей. Часто используемая в качестве метода синтеза данных с датчиков, теория Демпстера — Шейфера основана на двух идеях: получение степени убежденности для одного вопроса на основе субъективных вероятностей для связанного вопроса и правило Демпстера для объединения таких степеней убежденности, когда они основаны на независимых элементах доказательств. По сути, степень убежденности в предложении зависит главным образом от количества ответов (на связанные вопросы), содержащих это предложение, и субъективной вероятности каждого ответа. Вклад также вносят правила комбинации, отражающие общие предположения о данных. В этой формализации степень убежденности (также называемая массой) представляется функцией убеждения, а не распределением вероятностей Байеса. Значения вероятности присваиваются множествам возможностей, а не отдельным событиям: их привлекательность заключается в том, что они естественным образом кодируют доказательства в пользу предложений. Теория Демпстера — Шейфера присваивает свои массы всем подмножествам множества состояний системы — в терминах теории множеств, это булево множество состояний. Например, предположим ситуацию, в которой система может находиться в двух возможных состояниях. Для этой системы любая функция убеждения присваивает массу первому состоянию, второму, обоим состояниям и ни одному из них.
Вера и правдоподобность
Формализм Шафера исходит из набора рассматриваемых возможностей, например, числовых значений переменной или пар лингвистических переменных, таких как "дата и место происхождения реликвии" (определяется, является ли она антикварным предметом или недавней подделкой). Гипотеза представляется подмножеством этой структуры различения, например, "(династия Мин, Китай)" или "(XIX век, Германия)", которые обусловлены независимыми источниками убеждений, например, при объединении подсказок или предпочтений. Следует отметить, что массы вероятностей из противоречащих друг другу утверждений могут быть использованы для получения меры конфликта между независимыми источниками убеждений. Другие ситуации могут быть смоделированы с использованием различных операторов объединения, таких как кумулятивное объединение убеждений из независимых источников, которое может быть смоделировано с помощью кумулятивного оператора объединения. Правило комбинации Демпстера иногда интерпретируется как приближенное обобщение правила Байеса. В этой интерпретации априорные вероятности и условные вероятности не требуется указывать, в отличие от традиционных байесовских методов, которые часто используют аргумент симметрии (минимальной ошибки) для присвоения априорных вероятностей случайным переменным (например, присвоение 0,5 бинарным значениям, для которых нет информации о том, какое из них более вероятно). Однако любая информация, содержащаяся в недостающих априорных и условных вероятностях, не используется в правиле комбинации Демпстера, если только она не может быть получена косвенно – и, возможно, тогда она доступна для вычисления с использованием уравнений Байеса. Теория Демпстера-Шейфера позволяет указать степень незнания в этой ситуации, вместо того чтобы быть вынужденным предоставлять априорные вероятности, сумма которых равна единице. Этот тип ситуаций, а также вопрос о реальном различии между риском и незнанием, широко обсуждались статистиками и экономистами. См., например, различные точки зрения Дэниела Эллсберга, Говарда Райффы, Кеннета Арроу и Фрэнка Найта.
Последствия конфликта
Коэффициент нормализации, указанный выше, 1 − K, приводит к полному игнорированию конфликтов и отнесению любой массы, связанной с ними, к пустому множеству. Таким образом, данное правило объединения доказательств может давать контринтуитивные результаты, что мы продемонстрируем ниже.
Пример получения правильных результатов в случае высокого конфликта
Следующий пример показывает, как правило Демпстера дает интуитивные результаты при применении в ситуации объединения предпочтений, даже при высоком уровне конфликта. Предположим, что два друга, Алиса и Боб, однажды вечером хотят пойти в кино, где показывают только три фильма: X, Y и Z. Алиса выражает предпочтение фильму X с вероятностью 0,99, а фильму Y – с вероятностью всего 0,01. Боб выражает предпочтение фильму Z с вероятностью 0,99, а фильму Y – с вероятностью всего 0,01. При объединении их предпочтений с помощью правила Демпстера получается, что их общее предпочтение имеет вероятность 1.0 для фильма Y, поскольку это единственный фильм, который они оба согласны посмотреть. Правило Демпстера дает интуитивные результаты даже в случае полностью противоречивых убеждений, если его интерпретировать таким образом. Предположим, что Алиса предпочитает фильм X с вероятностью 1.0, а Боб предпочитает фильм Z с вероятностью 1.0. При попытке объединить их предпочтения с помощью правила Демпстера оказывается, что в этом случае оно не определено, что означает отсутствие решения. Это значит, что они не могут договориться о совместном просмотре какого-либо фильма и поэтому не пойдут в кино вместе в тот вечер. Однако семантика интерпретации предпочтения как вероятности неоднозначна: если она относится к вероятности просмотра фильма X сегодня вечером, то мы сталкиваемся с логической ошибкой ложного дихотомии: событие, которое фактически происходит – не просмотр ни одного из фильмов сегодня вечером – имеет нулевую вероятность.
ДемпстерШафер как обобщение байесовской теории
Как и в теории Демпстера–Шейфера, байесовская функция убеждений обладает свойствами и . Третье условие, однако, включается в теорию DS, но в ней ослаблено: например, теория DS нарушает требования теоремы Кокса, что означает, что её нельзя рассматривать как когерентное (свободное от противоречий) обобщение классической логики – в частности, теория DS нарушает требование, согласно которому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным (но не одновременно). В результате теория DS подвержена аргументу «Голландской книги», что подразумевает, что любой агент, использующий теорию DS, согласится на серию ставок, приводящих к гарантированному проигрышу.
Байесовское приближение
Байесовское приближение сводит данное bpa к (дискретному) распределению вероятности, то есть в приближенной версии допускаются в качестве фокусных элементов только одиночные подмножества рамки различения.
Это полезно для тех, кто заинтересован только в гипотезе об одном состоянии. Мы можем выполнить его на примере "свет". Гипотеза Никакая 0 0 0 0 0 0 Красный 0,35 0,11 0,32 0,41 0,30 0,37 Желтый 0,25 0,21 0,33 0,33 0,38 0,38 Зеленый 0,15 0,33 0,24 0,25 0,32 0,25 Красный или Желтый 0,06 0,21 0,07 0 0 0 Красный или Зеленый 0,05 0,01 0,01 0 0 0 Желтый или Зеленый 0,04 0,03 0,01 0 0 0 Любой 0,1 0,1 0,02 0 0 0