Нанымдық белгісіздікті модельдеуге арналған математикалық құрылым

Кіріспе

Эпистемиялық белгісіздікті модельдеуге арналған математикалық негіз

Сенім функциялары теориясы, сондай-ақ дәлелдер теориясы немесе Демпстер-Шафер теориясы (DST) деп аталатын бұл теория, белгісіздікпен есептесудің жалпы аясы болып табылады және ықтималдық, мүмкіндік және дәл емес ықтималдық теориялары сияқты басқа аястармен байланысты. Алғаш рет Артур П. Демпстер статистикалық қорытындылар контекстінде ұсынған бұл теорияны Гленн Шафер эпистемиялық белгісіздікті модельдеудің жалпы аясына – дәлелдердің математикалық теориясына дамытты. Теория әртүрлі көздерден алынған дәлелдерді біріктіруге және қол жетімді барлық дәлелдерді ескеретін сенім дәрежесіне жетуге мүмкіндік береді (бұл сенім функциясы деп аталатын математикалық объектімен көрсетіледі). Демпстер-Шафер теориясы термині тар мағынада Демпстер мен Шафердің теорияның бастапқы тұжырымдамасына қатысты қолданылады. Дегенмен, бұл термин көбінесе белгілі бір жағдайларға бейімделген осы жалпы тәсілдің кең мағынасында қолданылады. Атап айтқанда, көптеген авторлар дәлелдерді біріктірудің әртүрлі ережелерін ұсынды, көбінесе дәлелдердегі қайшылықтарды тиімді шешу мақсатында. Бұл теорияның алғашқы еңбектері ауыстырылатын сенім моделі және ишараттар теориясы сияқты маңызды дамулардың бастауы болды. Басқаша айтқанда, бұл эпистемиялық мүмкіндіктерді көрсетудің бір жолы, бірақ ол ықтималдық теориясын қолдану арқылы алынған нәтижелерге қайшы келетін жауаптар бере алады. Демпстер-Шафер теориясы көбінесе сенсорлық интеграция әдісі ретінде қолданылады және екі негізгі идеяға негізделген: қатысты сұрақтарға қатысты субъективті ықтималдықтардан бір сұраққа деген сенім дәрежесін алу және тәуелсіз дәлелдер негізінде мұндай сенім дәрежелерін біріктіру үшін Демпстердің ережесін қолдану. Қорытындыға деген сенім дәрежесі негізінен ұйғарымды қамтитын жауаптардың санына (қатысты сұрақтарға) және әр жауаптың субъективті ықтималдығына байланысты. Сонымен қатар, деректер туралы жалпы болжамдарды көрсететін біріктіру ережелері де әсер етеді. Бұл формализмде сенім дәрежесі (масса деп те аталады) Байес ықтималдық таратуы емес, сенім функциясы ретінде көрсетіледі. Ықтималдық мәндері жеке оқиғаларға емес, мүмкіндіктер жиынына беріледі: олардың тартымдылығы ұсыныстардың пайдасына дәлелдерді табиғи түрде кодтау қабілетіне байланысты. Демпстер-Шафер теориясы жүйе күйлері жиынының барлық ішкі жиындарына масса тағайындайды – жиын теориясы терминдерімен айтқанда, күйлердің қуаты жиыны. Мысалы, жүйенің екі мүмкін күйі бар жағдайды қарастырайық. Бұл жүйе үшін кез келген сенім функциясы бірінші күйге, екінші күйге, екеуіне де және екеуіне де масса тағайындайды.

The theory of belief functions, also referred to as evidence theory or Dempster–Shafer theory (DST), is a general framework for reasoning with uncertainty, with understood connections to other frameworks such as probability, possibility and imprecise probability theories. First introduced by Arthur P. Dempster in the context of statistical inference, the theory was later developed by Glenn Shafer into a general framework for modeling epistemic uncertainty—a mathematical theory of evidence. The theory allows one to combine evidence from different sources and arrive at a degree of belief (represented by a mathematical object called belief function) that takes into account all the available evidence. In a narrow sense, the term Dempster–Shafer theory refers to the original conception of the theory by Dempster and Shafer. However, it is more common to use the term in the wider sense of the same general approach, as adapted to specific kinds of situations. In particular, many authors have proposed different rules for combining evidence, often with a view to handling conflicts in evidence better. The early contributions have also been the starting points of many important developments, including the transferable belief model and the theory of hints. Put another way, it is a way of representing epistemic plausibilities, but it can yield answers that contradict those arrived at using probability theory. Often used as a method of sensor fusion, Dempster–Shafer theory is based on two ideas: obtaining degrees of belief for one question from subjective probabilities for a related question, and Dempster's rule for combining such degrees of belief when they are based on independent items of evidence. In essence, the degree of belief in a proposition depends primarily upon the number of answers (to the related questions) containing the proposition, and the subjective probability of each answer. Also contributing are the rules of combination that reflect general assumptions about the data. In this formalism a degree of belief (also referred to as a mass) is represented as a belief function rather than a Bayesian probability distribution. Probability values are assigned to sets of possibilities rather than single events: their appeal rests on the fact they naturally encode evidence in favor of propositions. Dempster–Shafer theory assigns its masses to all of the subsets of the set of states of a system—in set theoretic terms, the power set of the states. For instance, assume a situation where there are two possible states of a system. For this system, any belief function assigns mass to the first state, the second, to both, and to neither.

Сенім мен сенімі

Шафер формализмі қарастырылып жатқан мүмкіндіктер жиынтығынан басталады, мысалы, айнымалының сандық мәндері немесе "реликтің пайда болған күні мен орны" сияқты тілдік айнымалылардың жұптары (ол көне ме, әлде жақында жасалған жалған ма деп сұралады). Гипотеза осы түсінік шеңберінің кіші жиынтығымен бейнеленеді, мысалы, "Мин әулеті, Қытай" немесе "19 ғасыр, Германия" сияқты, тәуелсіз сенім көздерімен анықталады, мысалы, кеңестерді біріктіру немесе қалауларды біріктіру жағдайында. Бір-біріне қайшы келетін ұйғарымдардың ықтималдық массаларын тәуелсіз сенім көздері арасындағы қайшылықты өлшеу үшін пайдалануға болады. Басқа жағдайларды әр түрлі біріктіру операторларымен модельдеуге болады, мысалы, тәуелсіз көздерден алынған сенімдердің жиынтық біріктірілуі, оны жиынтық біріктіру операторымен модельдеуге болады. Демпстердің біріктіру ережесі кейде Байес ережесінің жуық шамамен жалпылануы ретінде түсіндіріледі. Бұл түсіндіруде Байес әдістерінен айырмашылығы, алдын ала ықтималдықтарды көрсету қажет емес, ал дәстүрлі Байес әдістері көбінесе симметрия (минималды қате) аргументін қолданып, кездейсоқ айнымалыларға алдын ала ықтималдықтарды тағайындайды (мысалы, қайсысы ықтимал екені туралы ақпарат жоқ екілік мәндерге 0,5 тағайындау). Дегенмен, жоқ болған priors және conditionals-те қамтылған кез келген ақпарат Демпстердің біріктіру ережесінде пайдаланылмайды, егер оны жанама түрде алу мүмкін болмаса, және одан кейін Байес теңдеулерін қолдану арқылы есептеуге қолжетімді болар еді. Демпстер-Шафер теориясы бірлікті құрайтын алдын ала ықтималдықтарды беруге мәжбүр болудың орнына, осы жағдайда белгілі бір дәрежеде білімсіздікті көрсетуге мүмкіндік береді. Мұндай жағдай, және тәуекел мен білімсіздік арасында нақты айырмашылық бар ма, жоқ па, статистикалықтар мен экономистер тарапынан кеңінен талқыланды. Мысалы, Дэниел Эллсберг, Говард Райффа, Кеннет Ароу және Фрэнк Найттың қарама-қарсы пікірлерін қараңыз.

Дау-жанжалдың әсері

Жоғарыдағы нормалау коэффициенті, 1 – K, қақтығысты толығымен назарына алмауға және қақтығысқа байланысты кез келген массаны бос жиынға жатқызуға себеп болады. Осылайша, дәлелдерді біріктірудің бұл ережесі күтпеген, интуицияға қарсы нәтижелер бере алады, бұл туралы төменде көрсетеміз.

Жоғары қайшылық жағдайында дұрыс нәтижелер шығару мысалы

Келесі мысал Демпстер ережесінің преференцияларды біріктіру жағдайында, тіпті жоғары деңгейдегі қайшылықтар болған кезде де, интуитивті нәтижелер беретінін көрсетеді. Айырықша жағдай ретінде, екі дос – Алиса мен Боб бір кешке кинотеатрда фильм көруді жоспарлап, Х, Y және Z фильмдерінің арасынан таңдау жасағысы келеді. Алиса Х фильмін 0.99 ықтималдығымен, ал Y фильмін 0.01 ықтималдығымен ұнататынын білдіреді. Боб Z фильмін 0.99 ықтималдығымен, ал Y фильмін 0.01 ықтималдығымен ұнататынын айтады. Демпстердің біріктіру ережесін қолданғанда, олардың біріктірілген преференциясы Y фильміне 1.0 ықтималдығын береді, себебі бұл фильмді көруге екеуі де келіседі. Осылайша түсіндірілгенде, Демпстердің біріктіру ережесі толығымен қарама-қайшы пікірлер болған жағдайда да интуитивті нәтижелер береді. Егер Алиса Х фильмін 1.0 ықтималдығымен, ал Боб Z фильмін 1.0 ықтималдығымен ұнатса, Демпстер ережесімен олардың преференцияларын біріктіруге тырысқанда, нәтиже анықталмайды, яғни шешім жоқ. Бұл олардың бірге фильм көруге келіспейтінін, демек сол кешке кинотеатрға бармайтынын білдіреді. Дегенмен, преференцияны ықтималдық ретінде қарастырудың мәні шамалы: егер бұл бүгін кешке Х фильмін көру ықтималдығын білдірсе, онда біз ортасы жоқ қателікке тап боламыз: бүгін кешке ешқандай фильмді көрмеу оқиғасының ықтималдық массасы 0-ге тең.

Демпстер Шафер - Байес теориясының жалпылауы

Демпстер–Шәфер теориясындағыдай, Байестік сенім функциясы қасиеттерге ие және үшінші шарт, алайда, DS теориясында қамтылған, бірақ жеңілдетілген: Мысалы, DS теориясы Кокс теоремасының талаптарын бұзады, бұл оны классикалық логиканың дәйекті (қарама-қайшылықсыз) жалпыламасы деп санауға мүмкіндік бермейді – атап айтқанда, DS теориясы бір мәлімдеме бірден шын және жалған бола алмайды деген талапты бұзады. Осының салдарынан, DS теориясы «Голланд кітабы» аргументіне ұшырайды, яғни DS теориясын қолданатын кез келген агент міндетті түрде жеңіліске әкелетін тікелей тізбектей тігістерге келіседі.

Бейестік шамалау

Байестік жуықтау берілген bpa-ны (дискрет) ықтималдық таратуға дейін азайтады, яғни ажырату жинағының тек жалғыз элементтері ғана жуықталған нұсқасының фокустық элементтері болуға рұқсат етіледі. Бұл тек жеке күй гипотезасына қызығушылық танытқандар үшін пайдалы. Біз оны "жарық" мысалында жүзеге асыруға болады. Гипотеза Жоқ 0 0 0 0 0 0 Қызыл 0,35 0,11 0,32 0,41 0,30 0,37 Сары 0,25 0,21 0,33 0,33 0,38 0,38 Жасыл 0,15 0,33 0,24 0,25 0,32 0,25 Қызыл немесе Сары 0,06 0,21 0,07 0 0 0 Қызыл немесе Жасыл 0,05 0,01 0,01 0 0 0 Сары немесе Жасыл 0,04 0,03 0,01 0 0 0 Кез келген 0,1 0,1 0,02 0 0 0