Введение

Число, которое при умножении на x равно 1.

В математике, мультипликативная обратная или реципрокное для числа x, обозначаемое как 1/x или x⁻¹, – это число, которое при умножении на x даёт мультипликативную единицу, 1. Мультипликативная обратная дроби a/b равна b/a. Чтобы найти реципрокное для действительного числа, разделите 1 на это число. Например, реципрокное для 5 равно одной пятой (1/5 или 0.2), а реципрокное для 0.25 равно 1, делённое на 0.25, или 4. Реципрокная функция, функция f(x), которая отображает x в 1/x, является одним из простейших примеров функции, являющейся собственной обратной (инволюцией). Умножение на число эквивалентно делению на его реципрокное, и наоборот. Например, умножение на 4/5 (или 0.8) даст тот же результат, что и деление на 5/4 (или 1.25). Следовательно, умножение на число, за которым следует умножение на его реципрокное, даёт исходное число (поскольку произведение числа и его реципрокного равно 1). Термин «реципрокное» использовался как минимум со времён третьего издания «Энциклопедии Британника» (1797) для описания двух чисел, произведение которых равно 1; геометрические величины в обратной пропорции описываются как реципрокные в переводе «Элементов» Евклида, датированном 1570 годом. Во фразе «мультипликативная обратная» квалификатор «мультипликативная» часто опускается и подразумевается (в отличие от аддитивной обратной). Мультипликативные обратные могут быть определены во многих математических областях, а также для чисел. В этих случаях может случиться, что ab ≠ ba; тогда «обратная» обычно подразумевает, что элемент является одновременно левой и правой обратной. Обозначение f⁻¹ иногда также используется для обратной функции функции f, которая для большинства функций не равна мультипликативной обратной. Например, мультипликативная обратная 1/(sin x) = (sin x)⁻¹ является косекансом x, а не обратным синусом x, обозначаемым sin⁻¹ x или arcsin x. Различие в терминологии «реципрокное» и «обратное» недостаточно для проведения этого различия, поскольку многие авторы предпочитают противоположную номенклатуру, вероятно, по историческим причинам (например, во французском языке обратная функция предпочтительно называется bijection réciproque).

Алгоритмы

Взаимное число можно вычислить вручную с использованием длинного деления. Вычисление обратной величины важно во многих алгоритмах деления, поскольку частное a/b можно вычислить, сначала вычислив 1/b, а затем умножив его на a. Заметив, что функция имеет ноль при x = 1/b, метод Ньютона может найти этот ноль, начиная с начального приближения и итерируя по правилу:

Это продолжается до достижения требуемой точности. Например, предположим, что мы хотим вычислить 1/17 ≈ 0,0588 с точностью до 3 знаков. Принимая x0 = 0,1, получается следующая последовательность:
x1 = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03
x2 = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447
x3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
x4 = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
x5 = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588
Типичное начальное приближение можно найти, округлив b до ближайшей степени 2, а затем используя битовые сдвиги для вычисления его обратной величины. В конструктивной математике для того, чтобы действительное число x имело обратную величину, недостаточно, чтобы x ≠ 0. Вместо этого необходимо предоставить рациональное число r, такое что 0 < r < |x|. В терминах алгоритма приближения, описанного выше, это необходимо для доказательства того, что изменение y в конечном итоге станет сколь угодно малым. Эта итерация также может быть обобщена на более широкий класс обратных величин, например, обратные матрицы.

Взаимные ирациональные числа

Каждое действительное или комплексное число, за исключением нуля, имеет обратное, и обратные некоторых иррациональных чисел могут обладать важными специальными свойствами. Примеры включают обратную величину числа e (≈ 0,367879) и обратную величину золотого сечения (≈ 0,618034). Первая обратная величина особенна, поскольку ни одно другое положительное число не может дать меньшего результата при возведении в собственную степень; она является глобальным минимумом функции f(x) = x^(1/x). Второе число – единственное положительное число, которое равно своему обратному плюс один. Его аддитивный инверс – единственное отрицательное число, которое равно своему обратному минус один. Функция f(x) = x + 1/x дает бесконечное количество иррациональных чисел, которые отличаются от своих обратных на целое число. Например, √2 является иррациональным числом. Его обратная величина 1/√2, точнее на √2 меньше. Такие иррациональные числа обладают очевидным свойством: они имеют ту же дробную часть, что и их обратные, поскольку разница между ними – целое число. Функция обратной величины играет важную роль в цепных дробях, которые обладают рядом замечательных свойств, связанных с представлением (как рациональных, так и) иррациональных чисел.

Дополнительные замечания

Если умножение ассоциативно, элемент x с мультипликативной обратной не может быть делителем нуля (x является делителем нуля, если существует ненулевой y, такой что xy = 0). Чтобы увидеть это, достаточно умножить уравнение xy = 0 на обратный к x элемент (слева) и затем упростить, используя ассоциативность. В случае отсутствия ассоциативности, седенионы предоставляют контрпример. Обратное неверно: элемент, не являющийся делителем нуля, не обязательно имеет мультипликативную обратную. В Z все целые числа, кроме −1, 0 и 1, служат примерами; они не являются делителями нуля и не имеют обратных в Z. Однако, если кольцо или алгебра конечны, то все элементы a, не являющиеся делителями нуля, имеют (левый и правый) обратный. Действительно, сначала заметим, что отображение f(x) = ax должно быть инъективным: если f(x) = f(y), то x = y.

Различные элементы отображаются в различные элементы, следовательно, образ состоит из того же конечного числа элементов, и отображение обязательно сюръективно. В частности, f (то есть умножение на a) должно отображать некоторый элемент x в 1, то есть ax = 1, так что x является обратным для a.

Приложения

Расширение обратной величины 1/q в любой системе счисления также может служить источником псевдослучайных чисел, если q – "подходящее" безопасное простое число, то есть простое число вида 2p + 1, где p также является простым числом. Расложение в ряд даст последовательность псевдослучайных чисел длиной q − 1.