Санның кері шамасы немесе бөлгіші

Кіріспе

1-ге тең болу үшін x-ке көбейтілген сан.

Математикада, x санының көбейтуге кері саны немесе кері шамасы, 1/x немесе x−1 деп белгіленеді, бұл x-ке көбейтілген кезде көбейтудің нейтраль элементін, яғни 1-ді беретін сан. a/b бөлшегінің көбейтуге кері саны b/a болады. Нақты санның көбейтуге кері шамасын табу үшін 1-ді сол санға бөліңіз. Мысалы, 5 санының кері шамасы 1/5 немесе 0,2-ге тең, ал 0,25 санының кері шамасы 1-ді 0,25-ке бөлгенге тең, яғни 4-ке тең. Кері функция, f(x) функциясы x-ті 1/x-ке бейнелейтін функция, өзінің кері функциясы (инволюция) болатын ең қарапайым мысалдың бірі. Бір санға көбейту, оның кері санына бөлумен бірдей, және керісінше. Мысалы, 4/5 (немесе 0,8) көбейту, 5/4 (немесе 1,25) бөлумен бірдей нәтиже береді. Сондықтан, бір санға көбейтуден кейін оның кері санына көбейту, бастапқы санды береді (өйткені сан мен оның кері санының көбейтіндісі 1-ге тең). «Кері шама» термині кем дегенде 1797 жылғы «Британ энциклопедиясының» үшінші басылымынан бері қолданылып келеді, ол 1-ге көбейтіндісі тең болатын екі санды сипаттау үшін пайдаланылған; кері пропорционалды геометриялық шамалар Евклидтің «Элементтерінің» 1570 жылғы аудармасында reciprocall деп сипатталған. «Көбейтуге кері» тіркесінде «көбейтуге» сөзі жиі жіберіліп, оның мағынасы түсініледі (қосылғыш кері шамадан айырмашылығы). Көбейтуге кері шамаларды көптеген математикалық салаларда, сондай-ақ сандарда анықтауға болады. Мұндай жағдайларда ab ≠ ba болуы мүмкін; сонда «кері» сөзі әдетте элементтің сол және оң жақтанғы кері шама екенін білдіреді. f−1 белгісі кейде f функциясының кері функциясын белгілеу үшін де қолданылады, бірақ көптеген функциялар үшін ол көбейтуге кері шамаға тең емес. Мысалы, 1/(sin x) = (sin x)−1 көбейтуге кері шамасы x-тің косеканты болып табылады, ал sin−1 x немесе arcsin x арқылы белгіленетін x-тің кері синусы емес. «Кері шама» мен «кері» терминдерінің айырмашылығы осы екеуін ажыратуға жеткіліксіз, өйткені көптеген авторлар тарихи себептерге байланысты кері атауды қалайды (мысалы, француз тілінде кері функцияны bijection réciproque деп атайды).

In mathematics, a multiplicative inverse or reciprocal for a number x, denoted by 1/x or x−1, is a number which when multiplied by x yields the multiplicative identity, 1. The multiplicative inverse of a fraction a/b is b/a. For the multiplicative inverse of a real number, divide 1 by the number. For example, the reciprocal of 5 is one fifth (1/5 or 0.2), and the reciprocal of 0.25 is 1 divided by 0.25, or 4. The reciprocal function, the function f(x) that maps x to 1/x, is one of the simplest examples of a function which is its own inverse (an involution). Multiplying by a number is the same as dividing by its reciprocal and vice versa. For example, multiplication by 4/5 (or 0.8) will give the same result as division by 5/4 (or 1.25). Therefore, multiplication by a number followed by multiplication by its reciprocal yields the original number (since the product of the number and its reciprocal is 1). The term reciprocal was in common use at least as far back as the third edition of Encyclopædia Britannica (1797) to describe two numbers whose product is 1; geometrical quantities in inverse proportion are described as reciprocall in a 1570 translation of Euclid's Elements. In the phrase multiplicative inverse, the qualifier multiplicative is often omitted and then tacitly understood (in contrast to the additive inverse). Multiplicative inverses can be defined over many mathematical domains as well as numbers. In these cases it can happen that ab ≠ ba; then "inverse" typically implies that an element is both a left and right inverse. The notation f −1 is sometimes also used for the inverse function of the function f, which is for most functions not equal to the multiplicative inverse. For example, the multiplicative inverse 1=1/(sin x) = (sin x)−1 is the cosecant of x, and not the inverse sine of x denoted by sin−1 x or arcsin x. The terminology difference reciprocal versus inverse is not sufficient to make this distinction, since many authors prefer the opposite naming convention, probably for historical reasons (for example in French, the inverse function is preferably called the bijection réciproque).

Алгоритмдер

Қос мәнді ұзын бөлу арқылы қолмен есептеуге болады. Кері шаманы есептеу көптеген бөлу алгоритмдерінде маңызды, себебі a/b бөліндісін есептеу үшін алдымен 1/b есептеліп, содан кейін ол a-ға көбейтіледі. x = 1/b нүктесінде нөл бар екенін ескерсек, Ньютон әдісі сол нөлді бастапқы шамадан бастап және келесі ереже бойынша итерация жасау арқылы таба алады:

Бұл қажетті дәлдікке жеткенше жалғасады. Мысалы, 1/17 ≈ 0.0588-ді 3 таңбалы дәлдікпен есептеуді қалаймыз делік. x0 = 0.1 деп алғанда, келесі тізбек пайда болады:
x1 = 0.1(2 − 17 × 0.1) = 0.03
x2 = 0.03(2 − 17 × 0.03) = 0.0447
x3 = 0.0447(2 − 17 × 0.0447) ≈ 0.0554
x4 = 0.0554(2 − 17 × 0.0554) ≈ 0.0586
x5 = 0.0586(2 − 17 × 0.0586) ≈ 0.0588
Типтік бастапқы шаманы b-ні 2-ге жуық дәрежеге дейін дөңгелектеу арқылы, содан кейін оның кері шамасын есептеу үшін биттік ығысуларды пайдалану арқылы табуға болады. Конструктивті математикада, нақты сан x-тің кері шамасы болуы үшін x ≠ 0 болуы жеткіліксіз. Оның орнына 0 < r < |x| болатын рационал сан r берілуі керек. Жоғарыда сипатталған жуықтау алгоритмі тұрғысынан, бұл y-дегі өзгеріс ақырында кез келгендей кішкентай болатынын дәлелдеу үшін қажет. Бұл итерация кері шамалардың кең түріне де жалпыланады; мысалы, матрицалық кері шамалар.

Иррационал сандардың өзара байланыстары

Нөлді қоспағанда, кез келген нақты немесе кешен санның кері шамасы болады, ал кейбір иррационал сандардың кері шамалары маңызды ерекше қасиеттерге ие болуы мүмкін. Мысалдарға e-нің кері шамасы (≈ 0,367879) және алтын қатынастың кері шамасы (≈ 0,618034) жатады. Бірінші кері шама ерекше, себебі басқа оң сан өзін өзіңің дәрежесіне келтіргенде одан төмен сан шығара алмайды; ол – жаһандық минимум. Екінші сан – кері шамасымен бірге қосылғанда бірге тең болатын жалғыз оң сан: Оның қосымша кері шамасы – кері шамасынан бірді азайтуға тең болатын жалғыз теріс сан: Функция өзінің кері шамасымен бүтін санға қатысты айырмашылығы бар шексіз көптеген иррационал сандарды береді. Мысалы, оның кері шамасы , дәл кем. Мұндай иррационал сандардың айқын қасиеті бар: олардың бөлшек бөлігі кері шамасымен бірдей, себебі бұл сандардың арасында бүтін сан айырмасы бар. Кері шама функциясы үздіксіз бөлшектерде маңызды рөл атқарады, олар (рационал және) иррационал сандарды көрсетуге қатысты көптеген ерекше қасиеттерге ие.

Қосымша ескертулер

Егер көбейту ассоциативті болса, көбейтуге керісі бар x элементі нөлдік бөлгіш бола алмайды (x нөлдік бөлгіш болып есептеледі, егер нөлдік емес y үшін 1 = xy = 0 орындалса). Мұны көрсету үшін, 1 = xy = 0 теңдеуін x-тің керісімен (сол жағынан) көбейтіп, содан кейін ассоциативтілік қасиетін пайдаланып теңдеуді ықшамдау жеткілікті. Егер ассоциативтілік болмаса, седениондар кері мысал келтіреді. Керісіне, нөлдік бөлгіш емес элементтің міндетті түрде көбейтуге керісі бола бермейді. Z ішінде -1, 0, 1 сандарынан басқа барлық бүтін сандар мысал болады; олар нөлдік бөлгіштер емес, сонымен қатар Z-де керісі де жоқ. Бірақ, егер сақина немесе алгебра шекті болса, онда нөлдік бөлгіш емес барлық элементтердің (сол және оң) керісі болады. Өйткені, біріншіден, 1 = f(x) = ax функциясы инъективті болуы керек екенін байқаңыз: 1 = f(x) = f(y) болса, онда 1 = x = y.

Әртүрлі элементтер әртүрлі элементтерге бейнеленеді, сондықтан бейне бірдей шекті сандар жиынынан тұрады, ал функция міндетті түрде сюръективті болады. Атап айтқанда, ƒ (яғни a-ға көбейту) кейбір x элементін 1-ге бейнелеуі керек, 1 = ax = 1, сонда x, a-ның керісі болады.

Қолданбалар

Кез келген негіздегі 1/q-ның кеңеюі, егер q – "қолайлы" қауіпсіз жай сан болса, яғни 2p + 1 түріндегі жай сан, мұнда p де жай сан болса, псевдо-кездейсоқ сандардың көзі ретінде де қолданылуы мүмкін. Бұл кеңею q – 1 ұзындығындағы псевдо-кездейсоқ сандар тізбегін тудырады.