Введение

Логический парадокс, возникающий из-за нечеткости предикатов

Парадокс соритов (/s//oʊ//'//r//aɪ//t//iː//z/; иногда известный как парадокс кучи) — это парадокс, возникающий из-за нечетких предикатов. Типичная формулировка включает кучу песка, из которой по одному удаляются зерна. Если исходить из предположения, что удаление одного зерна не превращает кучу в не-кучу, парадокс заключается в том, чтобы рассмотреть, что произойдет, если этот процесс повторить достаточное количество раз, пока не останется только одно зерно: является ли оно все еще кучей? Если нет, то когда оно перестало быть кучей?

Вариации

Цитата: Тогда напряжение между незначительными изменениями и значительными последствиями порождает парадокс соритов. Существует множество вариаций, [некоторые из которых допускают] рассмотрение различия между тем, что есть на самом деле (вопрос факта), и тем, что представляется (вопрос восприятия).

Ошибка континуума

Обман континуума (также известный как заблуждение бороды, заблуждение рисования границы или заблуждение точки решения) — это неформальное заблуждение, связанное с парадоксом соритов. Оба заблуждения приводят к ошибочному отклонению расплывчатого утверждения лишь потому, что оно не настолько точное, каким хотелось бы его видеть. Расплывчатость сама по себе не обязательно подразумевает недействительность. Суть заблуждения заключается в аргументе, что два состояния или условия нельзя считать различными (или вообще не существуют), поскольку между ними существует континуум состояний. В строгом смысле парадокс соритов относится к ситуациям, где существует множество дискретных состояний (классически, от 1 до 1 000 000 песчинок, следовательно, 1 000 000 возможных состояний), в то время как обман континуума относится к ситуациям, где существует (или кажется, что существует) континуум состояний, например, температура. Вопрос о том, существуют ли какие-либо континуумы в физическом мире, является классическим вопросом атомизма. Хотя как ньютоновская, так и квантовая физика моделируют мир как непрерывный, существуют предложения в квантовой гравитации, такие как петлевая квантовая гравитация, которые предполагают, что понятия непрерывной длины неприменимы к длине Планка, и, следовательно, то, что кажется континуумом, может быть просто пока еще неразличимыми дискретными состояниями. Для целей анализа обмана континуума предполагается, что континуум действительно существует, хотя это, как правило, незначительное различие: в целом, любой аргумент против парадокса соритов можно использовать и против обмана континуума. Один из аргументов против этого заблуждения основан на простом контрпримере: существуют лысые люди и люди, которые не лысы. Другой аргумент заключается в том, что при каждой степени изменения состояния степень характеристики изменяется незначительно, и эти незначительные изменения накапливаются, переводя состояние из одной категории в другую. Например, добавление одного зернышка риса может сделать общую массу риса «чуть более» похожей на кучу, и достаточно небольших изменений подтвердят статус этой массы как кучи – см. нечёткую логику.

Отрицание существования кучей

Можно возразить против первой посылки, отрицая, что миллион песчинок образует кучу. Но миллион – это просто произвольно большое число, и аргумент применим к любому подобному числу. Следовательно, возражение должно прямо отрицать само существование куч. Питер Унгер защищает это решение. Однако А. Дж. Эйер отверг его, когда Унгер представил ему этот аргумент: "Если мы рассматриваем всё как состоящее из атомов и представляем Унгера не как состоящего из клеток, а из атомов, составляющих эти клетки, то, как указал мне Дэвид Виггинс, аналогичный аргумент можно использовать, чтобы доказать, что Унгер, вопреки тому, что он может казаться несуществующим, идентичен всему сущему. Нам остаётся лишь заменить предпосылку о том, что вычитание одного атома из тела Унгера никогда не влияет на его существование, предпосылкой о том, что и добавление одного атома к нему также никогда не влияет".

Установление фиксированной границы

Первый распространенный ответ на этот парадокс — назвать любой набор зерен, содержащий больше определенного количества, кучей. Если установить "фиксированную границу" в 10 000 зерен, то можно утверждать, что менее 10 000 зерен не составляют кучу, а 10 000 и более – составляют. Коллинз утверждает, что такие решения неудовлетворительны, поскольку разница между 9999 и 10 000 зернами кажется незначительной. Граница, где бы она ни была установлена, остается произвольной, и поэтому ее точность обманчива. Это вызывает возражения как с философской, так и с лингвистической точек зрения: первое – из-за ее произвольности, а второе – потому что это просто не соответствует тому, как используется естественный язык.

Неизвестные границы (или эпистемизм)

Тимоти Уильямсон и Рой Соренсен утверждают, что существуют чёткие границы, но они в принципе непознаваемы.

Математическое объяснение

Пусть – классическая оценка, определенная для каждого атомарного предложения языка , и пусть – число различных атомарных предложений в . Тогда для любого предложения , может существовать не более различных классических оценок. Супероценка – это функция, отображающая предложения в значения истинности, такая что предложение является супер-истинным (т.е. истинным) тогда и только тогда, когда оно истинно для каждой классической оценки; аналогично для супер-ложного. В противном случае, значение супероценки не определено – т.е. тогда и только тогда, когда существуют две классические оценки и такие, что и .

Например, пусть – формальный перевод предложения "Пегас любит лакрицу". Тогда для существует ровно две классические оценки, а именно и . Следовательно, не является ни супер-истинным, ни супер-ложным. Однако тавтология оценивается как истина каждой классической оценкой; следовательно, она является супер-истинной. Аналогично, формализация вышеуказанного утверждения о куче не является ни супер-истинной, ни супер-ложной, но является супер-истинной.

Пробелы в истине, переизбыток и многозначная логика

Другой метод — использование многозначной логики. В этом контексте проблема заключается в принципе бивалентности: песок либо является кучей, либо не является кучей, без каких-либо полутонов. Вместо двух логических состояний — куча и не куча — можно использовать систему с тремя значениями, например, куча, неопределённость и не куча. Возражение к этому предложенному решению состоит в том, что трёхзначные системы не решают парадокс полностью, поскольку всё ещё существует граница между кучей и неопределённостью, а также между неопределённостью и не кучей. Третье значение истинности можно понимать как пробел в значениях истинности или как избыток значений истинности. В качестве альтернативы, нечёткая логика предлагает непрерывный спектр логических состояний, представленных в единичном интервале действительных чисел [0,1] — это многозначная логика с бесконечным числом значений истинности, и, таким образом, песок плавно переходит от "определённо куча" к "определённо не куча", с градациями в промежуточной области. Нечёткие ограничители используются для разделения континуума на области, соответствующие таким классам, как определённо куча, преимущественно куча, частично куча, слегка куча и не куча. Однако остаётся проблема определения местоположения этих границ; например, с какого количества зёрен песок начинает считаться "определённо" кучей.

Гистереза

Другой метод, предложенный Раффманом, заключается в использовании гистерезиса, то есть в знании того, с чего началось собирание песка. Равные по количеству порции песка могут рассматриваться как кучи или не рассматриваться как кучи, в зависимости от того, как они образовались. Если большая куча (однозначно определяемая как куча) постепенно уменьшается, она сохраняет свой "статус кучи" до определенного момента, даже если фактическое количество песка уменьшается до меньшего числа зерен. Например, 500 зерен – это горка, а 1000 зерен – куча. Между этими состояниями будет пересечение. Таким образом, если уменьшать кучу до горки, она будет оставаться кучей до 750 зерен. В этот момент можно перестать называть ее кучей и начать называть горкой. Но если добавить одно зерно, она не сразу снова станет кучей. При увеличении количества она останется горкой до 900 зерен. Выбранные числа произвольны; суть в том, что одно и то же количество может быть как кучей, так и горкой, в зависимости от того, чем оно было до изменения. Типичным примером использования гистерезиса является термостат кондиционера: кондиционер устанавливается на 77°F, затем охлаждает воздух немного ниже 77°F, но не включается снова мгновенно, когда воздух нагревается до 77.001°F – он ждет, пока температура не приблизится к 78°F, чтобы избежать постоянных и быстрых переключений состояния.