Введение
Отношение между рациональными корнями многочлена и его крайними коэффициентами
In algebra, the rational root theorem (or rational root test, rational zero theorem, rational zero test or p/q theorem) states a constraint on rational solutions of a polynomial equation
with integer coefficients and Solutions of the equation are also called roots or zeros of the polynomial on the left side. The theorem states that each rational solution 1=x = ^(p)⁄q, written in lowest terms so that p and q are relatively prime, satisfies:
p is an integer factor of the constant term a0, and
q is an integer factor of the leading coefficient an. The rational root theorem is a special case (for a single linear factor) of Gauss's lemma on the factorization of polynomials. The integral root theorem is the special case of the rational root theorem when the leading coefficient is 1=an = 1.
В алгебре теорема о рациональных корнях (или тест на рациональные корни, теорема о рациональных нулях, тест на рациональные нули или теорема p/q) устанавливает ограничение на рациональные решения многочленного уравнения с целыми коэффициентами. Решения уравнения также называются корнями или нулями многочлена. Теорема утверждает, что каждое рациональное решение x = p/q, представленное в несократимом виде, то есть p и q взаимно просты, удовлетворяет следующим условиям:
In algebra, the rational root theorem (or rational root test, rational zero theorem, rational zero test or p/q theorem) states a constraint on rational solutions of a polynomial equation
with integer coefficients and Solutions of the equation are also called roots or zeros of the polynomial on the left side. The theorem states that each rational solution 1=x = ^(p)⁄q, written in lowest terms so that p and q are relatively prime, satisfies:
p is an integer factor of the constant term a0, and
q is an integer factor of the leading coefficient an. The rational root theorem is a special case (for a single linear factor) of Gauss's lemma on the factorization of polynomials. The integral root theorem is the special case of the rational root theorem when the leading coefficient is 1=an = 1.
p является целым делителем свободного члена a0, и
q является целым делителем старшего коэффициента an.
In algebra, the rational root theorem (or rational root test, rational zero theorem, rational zero test or p/q theorem) states a constraint on rational solutions of a polynomial equation
with integer coefficients and Solutions of the equation are also called roots or zeros of the polynomial on the left side. The theorem states that each rational solution 1=x = ^(p)⁄q, written in lowest terms so that p and q are relatively prime, satisfies:
p is an integer factor of the constant term a0, and
q is an integer factor of the leading coefficient an. The rational root theorem is a special case (for a single linear factor) of Gauss's lemma on the factorization of polynomials. The integral root theorem is the special case of the rational root theorem when the leading coefficient is 1=an = 1.
Теорема о рациональных корнях является частным случаем (для одного линейного множителя) леммы Гаусса о факторизации многочленов. Теорема об целых корнях является частным случаем теоремы о рациональных корнях, когда старший коэффициент равен 1.
In algebra, the rational root theorem (or rational root test, rational zero theorem, rational zero test or p/q theorem) states a constraint on rational solutions of a polynomial equation
with integer coefficients and Solutions of the equation are also called roots or zeros of the polynomial on the left side. The theorem states that each rational solution 1=x = ^(p)⁄q, written in lowest terms so that p and q are relatively prime, satisfies:
p is an integer factor of the constant term a0, and
q is an integer factor of the leading coefficient an. The rational root theorem is a special case (for a single linear factor) of Gauss's lemma on the factorization of polynomials. The integral root theorem is the special case of the rational root theorem when the leading coefficient is 1=an = 1.
Применение
Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если они существуют. Она предоставляет конечное число возможных рациональных дробей, которые можно проверить на предмет того, являются ли они корнями. Если найден рациональный корень x = r, то линейный многочлен (x – r) можно вынести из исходного многочлена с помощью деления в столбик, в результате чего получится многочлен более низкой степени, корни которого также являются корнями исходного многочлена.
Доказательство с помощью леммы Гаусса
Если существует нетривиальный делитель всех коэффициентов многочлена, то можно разделить на наибольший общий делитель коэффициентов, чтобы получить примитивный многочлен в смысле леммы Гаусса; это не меняет множество рациональных корней и лишь усиливает условия делимости. Эта лемма утверждает, что если многочлен разлагается в Q[X], то он также разлагается в Z[X] на произведение примитивных многочленов. Любой рациональный корень p/q соответствует линейному множителю в Q[X] многочлена, а его примитивным представителем является qx − p, при условии, что p и q взаимно просты. Любой кратный в Z[X] выражению qx − p имеет старший коэффициент, делящийся на q, и свободный член, делящийся на p, что и доказывает утверждение. Этот аргумент показывает, что в более общем случае, любой неприводимый фактор P можно считать многочленом с целыми коэффициентами, причём старший и свободный коэффициенты делят соответствующие коэффициенты P.