Теорема о двойственном пространстве гильбертова пространства
Riesz representation theorem
Теорема о двойственном пространстве гильбертова пространства: связь между гильбертовым пространством и его непрерывным двойственным пространством. Изоморфизм Рисса-Фреше.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Теорема о дуальном пространстве Гильберта
Theorem about the dual of a Hilbert space
Теорема представления Риеша, иногда называемая теоремой представления Риеша — Фреше в честь Фридьеша Риеша и Мориса Рене Фреше, устанавливает важную связь между пространством Гильберта и его непрерывным дуальным пространством. Если базовое поле — действительные числа, то они изометрически изоморфны; если базовое поле — комплексные числа, то они изометрически антиизоморфны. (Анти)изоморфизм является особым естественным изоморфизмом.
The Riesz representation theorem, sometimes called the Riesz–Fréchet representation theorem after Frigyes Riesz and Maurice René Fréchet, establishes an important connection between a Hilbert space and its continuous dual space. If the underlying field is the real numbers, the two are isometrically isomorphic; if the underlying field is the complex numbers, the two are isometrically anti isomorphic. The (anti ) isomorphism is a particular natural isomorphism.
Предварительные и обозначение
Пусть H – пространство Гильберта над полем, где поле является либо множеством действительных чисел ℝ, либо множеством комплексных чисел ℂ. Если (соответственно, если) , то H называется комплексным пространством Гильберта (соответственно, вещественным пространством Гильберта). Каждое вещественное гильбертово пространство может быть расширено до плотного подмножества единственного (с точностью до биективной изометрии) комплексного пространства Гильберта, называемого его комплексификацией, поэтому пространства Гильберта часто автоматически подразумеваются как комплексные. Вещественные и комплексные пространства Гильберта имеют много общих свойств и результатов/теорем, но далеко не все. Данная статья предназначена как для математиков, так и для физиков и будет описывать теорему для обоих случаев. Как в математике, так и в физике, если пространство Гильберта считается вещественным (то есть, если), это обычно оговаривается. Часто в математике, и особенно в физике, если не указано иное, под термином "пространство Гильберта" обычно подразумевается "комплексное пространство Гильберта". В зависимости от автора, в математике "пространство Гильберта" обычно означает либо (1) комплексное пространство Гильберта, либо (2) вещественное или комплексное пространство Гильберта.
Let be a Hilbert space over a field where is either the real numbers or the complex numbers If (resp. if ) then is called a complex Hilbert space (resp. a real Hilbert space). Every real Hilbert space can be extended to be a dense subset of a unique (up to bijective isometry) complex Hilbert space, called its complexification, which is why Hilbert spaces are often automatically assumed to be complex. Real and complex Hilbert spaces have in common many, but by no means all, properties and results/theorems. This article is intended for both mathematicians and physicists and will describe the theorem for both. In both mathematics and physics, if a Hilbert space is assumed to be real (that is, if ) then this will usually be made clear. Often in mathematics, and especially in physics, unless indicated otherwise, "Hilbert space" is usually automatically assumed to mean "complex Hilbert space." Depending on the author, in mathematics, "Hilbert space" usually means either (1) a complex Hilbert space, or (2) a real or complex Hilbert space.