Проективное пространство: точки на бесконечности и перспектива.

Введение

Завершение обычного пространства "точками на бесконечности"

В математике концепция проективного пространства возникла из визуального эффекта перспективы, где параллельные линии кажутся сходящимися в бесконечности. Таким образом, проективное пространство можно рассматривать как расширение евклидова пространства или, в более общем случае, аффинного пространства с точками на бесконечности, таким образом, чтобы для каждого направления параллельных линий существовала одна точка на бесконечности. Этот способ определения проективного пространства имеет недостаток, заключающийся в его неизотропности: оно содержит два различных типа точек, которые необходимо рассматривать отдельно при доказательствах. Поэтому обычно предпочтительнее использовать другие определения. Существуют два класса определений. В синтетической геометрии точка и прямая — это примитивные объекты, связанные отношением инцидентности «точка лежит на прямой» или «прямая проходит через точку», которое подчиняется аксиомам проективной геометрии. Для некоторых наборов аксиом было показано, что проективные пространства, определяемые ими, эквивалентны тем, которые получаются из следующего определения, которое чаще встречается в современных учебниках. Используя линейную алгебру, проективное пространство размерности n определяется как множество векторных прямых (то есть векторных подпространств размерности 1) в векторном пространстве V размерности n + 1. Эквивалентно, это фактормножество по отношению эквивалентности «лежание на одной векторной прямой». Поскольку векторная прямая пересекает единичную сферу V в двух антиподальных точках, проективные пространства можно эквивалентно определить как сферы, в которых отождествлены антиподальные точки. Проективное пространство размерности 1 — это проективная прямая, а проективное пространство размерности 2 — проективная плоскость. Проективные пространства широко используются в геометрии, поскольку позволяют формулировать более простые утверждения и строить более простые доказательства. Например, в аффинной геометрии две различные прямые в плоскости пересекаются не более чем в одной точке, а в проективной геометрии они пересекаются ровно в одной точке. Кроме того, существует только один класс конических сечений, которые можно различить только по их пересечениям с линией на бесконечности: две точки пересечения для гиперболы, одна для параболы, касающейся линии на бесконечности, и отсутствие действительных точек пересечения для эллипса. В топологии, и в частности в теории многообразий, проективные пространства играют фундаментальную роль, являясь типичными примерами неориентируемых многообразий.

In mathematics, the concept of a projective space originated from the visual effect of perspective, where parallel lines seem to meet at infinity. A projective space may thus be viewed as the extension of a Euclidean space, or, more generally, an affine space with points at infinity, in such a way that there is one point at infinity of each direction of parallel lines. This definition of a projective space has the disadvantage of not being isotropic, having two different sorts of points, which must be considered separately in proofs. Therefore, other definitions are generally preferred. There are two classes of definitions. In synthetic geometry, point and line are primitive entities that are related by the incidence relation "a point is on a line" or "a line passes through a point", which is subject to the axioms of projective geometry. For some such set of axioms, the projective spaces that are defined have been shown to be equivalent to those resulting from the following definition, which is more often encountered in modern textbooks. Using linear algebra, a projective space of dimension n is defined as the set of the vector lines (that is, vector subspaces of dimension one) in a vector space V of dimension n + 1. Equivalently, it is the quotient set of by the equivalence relation "being on the same vector line". As a vector line intersects the unit sphere of V in two antipodal points, projective spaces can be equivalently defined as spheres in which antipodal points are identified. A projective space of dimension 1 is a projective line, and a projective space of dimension 2 is a projective plane. Projective spaces are widely used in geometry, as allowing simpler statements and simpler proofs. For example, in affine geometry, two distinct lines in a plane intersect in at most one point, while, in projective geometry, they intersect in exactly one point. Also, there is only one class of conic sections, which can be distinguished only by their intersections with the line at infinity: two intersection points for hyperbolas; one for the parabola, which is tangent to the line at infinity; and no real intersection point of ellipses. In topology, and more specifically in manifold theory, projective spaces play a fundamental role, being typical examples of non orientable manifolds.

Мотивация

Как было описано выше, проективные пространства были введены для формализации утверждений типа "две компланарные прямые пересекаются ровно в одной точке, и эта точка находится в бесконечности, если прямые параллельны". Такие утверждения вытекают из изучения перспективы, которую можно рассматривать как центральную проекцию трехмерного пространства на плоскость (см. модель камеры-обскуры). Точнее, входной зрачок камеры или глаз наблюдателя является центром проекции, а изображение формируется на плоскости проекции. Математически, центр проекции – это точка O пространства (пересечение осей на рисунке); плоскость проекции (синим на рисунке) – это плоскость, не проходящая через O, которая часто выбирается как плоскость уравнения 1 = z = 1 при рассмотрении декартовых координат. Затем центральная проекция отображает точку P в точку пересечения прямой OP с плоскостью проекции. Такое пересечение существует тогда и только тогда, когда точка P не принадлежит плоскости (зеленым на рисунке), которая проходит через O и параллельна . Из этого следует, что прямые, проходящие через O, разделяются на два непересекающихся подмножества: прямые, не содержащиеся в , которые находятся во взаимно однозначном соответствии с точками , и прямые, содержащиеся в , которые находятся во взаимно однозначном соответствии с направлениями параллельных прямых в . Это наводит на мысль определить точки (называемые здесь проективными точками для ясности) проективной плоскости как прямые, проходящие через O. Проективная прямая в этой плоскости состоит из всех проективных точек (которые являются прямыми), содержащихся в плоскости, проходящей через O. Поскольку пересечение двух плоскостей, проходящих через O, является прямой, проходящей через O, пересечение двух различных проективных прямых состоит из единственной проективной точки. Плоскость определяет проективную прямую, которая называется линией на бесконечности. Отождествляя каждую точку в с соответствующей проективной точкой, можно утверждать, что проективная плоскость является непересекающимся объединением и (проективной) линии на бесконечности. Поскольку аффинное пространство с выделенной точкой O может быть отождествлено с его ассоциированным векторным пространством (см. ), предыдущая конструкция обычно выполняется, начиная с векторного пространства, и называется проективизацией. Также, конструкцию можно выполнить, начиная с векторного пространства любой положительной размерности. Таким образом, проективное пространство размерности n можно определить как множество векторных прямых (векторных подпространств размерности один) в векторном пространстве размерности n + 1. Проективное пространство также может быть определено как множество элементов любого множества, находящегося в естественном соответствии с этим множеством векторных прямых. Это множество может быть множеством классов эквивалентности относительно отношения эквивалентности между векторами, определяемого как "один вектор является произведением другого на ненулевой скаляр". Иными словами, это равносильно определению проективного пространства как множества векторных прямых, из которого удален нулевой вектор. Третье эквивалентное определение – определить проективное пространство размерности n как множество пар антиподальных точек на сфере размерности n (в пространстве размерности n + 1).

As outlined above, projective spaces were introduced for formalizing statements like "two coplanar lines intersect in exactly one point, and this point is at infinity if the lines are parallel". Such statements are suggested by the study of perspective, which may be considered as a central projection of the three dimensional space onto a plane (see Pinhole camera model). More precisely, the entrance pupil of a camera or of the eye of an observer is the center of projection, and the image is formed on the projection plane. Mathematically, the center of projection is a point O of the space (the intersection of the axes in the figure); the projection plane (, in blue on the figure) is a plane not passing through O, which is often chosen to be the plane of equation 1=z = 1, when Cartesian coordinates are considered. Then, the central projection maps a point P to the intersection of the line OP with the projection plane. Such an intersection exists if and only if the point P does not belong to the plane (, in green on the figure) that passes through O and is parallel to
It follows that the lines passing through O split in two disjoint subsets: the lines that are not contained in , which are in one to one correspondence with the points of , and those contained in , which are in one to one correspondence with the directions of parallel lines in This suggests to define the points (called here projective points for clarity) of the projective plane as the lines passing through O. A projective line in this plane consists of all projective points (which are lines) contained in a plane passing through O. As the intersection of two planes passing through O is a line passing through O, the intersection of two distinct projective lines consists of a single projective point. The plane
defines a projective line which is called the line at infinity of By identifying each point of with the corresponding projective point, one can thus say that the projective plane is the disjoint union of and the (projective) line at infinity. As an affine space with a distinguished point O may be identified with its associated vector space (see ), the preceding construction is generally done by starting from a vector space and is called projectivization. Also, the construction can be done by starting with a vector space of any positive dimension. So, a projective space of dimension n can be defined as the set of vector lines (vector subspaces of dimension one) in a vector space of dimension n + 1. A projective space can also be defined as the elements of any set that is in natural correspondence with this set of vector lines. This set can be the set of equivalence classes under the equivalence relation between vectors defined by "one vector is the product of the other by a nonzero scalar". In other words, this amounts to defining a projective space as the set of vector lines in which the zero vector has been removed. A third equivalent definition is to define a projective space of dimension n as the set of pairs of antipodal points in a sphere of dimension n (in a space of dimension n + 1).

Определение

При заданном векторном пространстве V над полем K, проективное пространство P(V) представляет собой множество классов эквивалентности, определяемых отношением эквивалентности x ~ y, если существует ненулевой элемент λ из K, такой что x = λy. Если V является топологическим векторным пространством, то фактор-пространство P(V) является топологическим пространством, наделённым фактор-топологией, индуцированной подпространственной топологией. Это имеет место, когда K – поле R действительных чисел или поле C комплексных чисел. Если V конечномерно, то размерность P(V) равна размерности V минус один. В общем случае, когда V = K^(n+1), проективное пространство P(V) обозначается Pⁿ(K) (а также Pₙ или Kℙⁿ, хотя это обозначение может быть спутано со степенью). Пространство Pⁿ(K) часто называют проективным пространством размерности n над K, или проективным n-пространством, поскольку все проективные пространства размерности n изоморфны ему (поскольку каждое K-векторное пространство размерности n+1 изоморфно K^(n+1)). Элементы проективного пространства P(V) обычно называются точками. Если в V выбран базис, и в частности, если V = K^(n+1), то проективные координаты точки P – это координаты на этом базисе любого элемента соответствующего класса эквивалентности. Эти координаты обычно обозначаются [x₀ : x₁ : … : xₙ], двоеточие и квадратные скобки используются для отличия от обычных координат и для подчеркивания того, что это класс эквивалентности, определённый с точностью до умножения на ненулевую константу. То есть, если [x₀ : x₁ : … : xₙ] – проективные координаты точки, то [λx₀ : λx₁ : … : λxₙ] также являются проективными координатами той же точки для любого ненулевого λ из K. Кроме того, вышеуказанное определение подразумевает, что [x₀ : x₁ : … : xₙ] – проективные координаты точки тогда и только тогда, когда хотя бы одна из координат ненулевая. Если K – поле действительных или комплексных чисел, то проективное пространство называется соответственно вещественным проективным пространством или комплексным проективным пространством. Если n равно одному или двум, то проективное пространство размерности n называется проективной линией или проективной плоскостью соответственно. Комплексная проективная линия также называется сферой Римана. Все эти определения естественным образом распространяются на случай, когда K – поле с делением; см., например, кватернионное проективное пространство. Обозначение PG(n, K) иногда используется для Pⁿ(K). Если K – конечное поле с q элементами, то Pⁿ(K) часто обозначается PG(n, q) (см. PG(3,2)).

Given a vector space V over a field K, the projective space 'P'(V) is the set of equivalence classes of under the equivalence relation ~ defined by x ~ y if there is a nonzero element λ of K such that 1=x = λy. If V is a topological vector space, the quotient space 'P'(V) is a topological space, endowed with the quotient topology of the subspace topology of This is the case when K is the field 'R' of the real numbers or the field 'C' of the complex numbers. If V is finite dimensional, the dimension of 'P'(V) is the dimension of V minus one. In the common case where , the projective space 'P'(V) is denoted (as well as or , although this notation may be confused with exponentiation). The space is often called the projective space of dimension n over K, or the projective n space, since all projective spaces of dimension n are isomorphic to it (because every K vector space of dimension n + 1 is isomorphic to ). The elements of a projective space 'P'(V) are commonly called points. If a basis of V has been chosen, and, in particular if , the projective coordinates of a point P are the coordinates on the basis of any element of the corresponding equivalence class. These coordinates are commonly denoted [x0 : : xn], the colons and the brackets being used for distinguishing from usual coordinates, and emphasizing that this is an equivalence class, which is defined up to the multiplication by a non zero constant. That is, if [x0 : : xn] are projective coordinates of a point, then [λx0 : : λxn] are also projective coordinates of the same point, for any nonzero λ in K. Also, the above definition implies that [x0 : : xn] are projective coordinates of a point if and only if at least one of the coordinates is nonzero. If K is the field of real or complex numbers, a projective space is called a real projective space or a complex projective space, respectively. If n is one or two, a projective space of dimension n is called a projective line or a projective plane, respectively. The complex projective line is also called the Riemann sphere. All these definitions extend naturally to the case where K is a division ring; see, for example, Quaternionic projective space. The notation PG(n, K) is sometimes used for If K is a finite field with q elements, is often denoted PG(n, q) (see PG(3,2)).

Спан

Каждое пересечение проективных подпространств является проективным подпространством. Из этого следует, что для любого подмножества S проективного пространства существует наименьшее проективное подпространство, содержащее S, которое является пересечением всех проективных подпространств, содержащих S. Это проективное подпространство называется проективной оболочкой S, а S является его образующим множеством. Множество S точек называется проективно независимым, если его оболочка не является оболочкой какого-либо собственного подмножества S. Если S является образующим множеством проективного пространства P, то существует подмножество S, которое образует P и является проективно независимым (это следует из аналогичной теоремы для векторных пространств). Если размерность P равна n, то такое независимое образующее множество содержит n + 1 элемент. В отличие от случаев векторных и аффинных пространств, независимого образующего множества недостаточно для определения координат. Требуется еще одна точка, см. следующий раздел.

Рама

Проективная рама — это упорядоченное множество точек в проективном пространстве, позволяющее определять координаты. Более точно, в n-мерном проективном пространстве проективная рама представляет собой кортеж из n + 2 точек, таких что любые n + 1 из них линейно независимы, то есть не содержатся в гиперплоскости. Если V — (n + 1)-мерное векторное пространство, а p — каноническая проекция из V в P(V), то (p(e₀), ..., p(eₙ₊₁)) является проективной рамой тогда и только тогда, когда (e₀, ..., eₙ) является базисом V, и коэффициенты eₙ₊₁ в этом базисе все отличны от нуля. Путем масштабирования первых n векторов любую раму можно переписать в виде (p(e'₀), ..., p(e'ₙ₊₁)), так что 1 = e'ₙ₊₁ = e'₀ + ... + e'ₙ; это представление уникально с точностью до умножения всех e'ᵢ на общий ненулевой множитель. Проективные координаты или однородные координаты точки p(v) относительно рамы (p(e₀), ..., p(eₙ₊₁)) с 1 = eₙ₊₁ = e₀ + ... + eₙ — это координаты v в базисе (e₀, ..., eₙ). Они также определены лишь с точностью до масштабирования на общий ненулевой множитель. Каноническая рама проективного пространства состоит из образов элементов канонического базиса (кортежей, содержащих только одну ненулевую запись, равную 1) при проецировании p, а также образа их суммы.

Комплексная структура CW

Реальные проективные пространства имеют простую структуру CW-комплекса, поскольку Pⁿ(ℝ) можно получить из Pⁿ⁻¹(ℝ) путем присоединения n-ячейки с помощью факторной проекции Sⁿ⁻¹ → Pⁿ⁻¹(ℝ) в качестве присоединяющего отображения.

Алгебраическая геометрия

Первоначально алгебраическая геометрия изучала общие нули множеств многомерных многочленов. Эти общие нули, называемые алгебраическими многообразиями, принадлежат аффинному пространству. Вскоре стало ясно, что в случае действительных коэффициентов для получения точных результатов необходимо учитывать все комплексные нули. Например, основная теорема алгебры утверждает, что одномерный многочлен степени n без кратных корней имеет ровно n комплексных корней. В многомерном случае также необходимо учитывать комплексные нули, но этого недостаточно: необходимо также учитывать нули на бесконечности. Например, теорема Безу утверждает, что пересечение двух плоских алгебраических кривых степеней d и e соответственно состоит из точно de точек, если рассматривать комплексные точки в проективной плоскости и считать точки с их кратностью. Другой пример – формула рода и степени, позволяющая вычислить род плоской алгебраической кривой по её сингулярностям в комплексной проективной плоскости. Таким образом, проективное многообразие – это множество точек в проективном пространстве, чьи однородные координаты являются общими нулями множества однородных многочленов. Любое аффинное многообразие можно единственным образом замкнуть в проективное многообразие, добавив к нему точки на бесконечности, что достигается гомогенизацией определяющих многочленов и удалением компонент, содержащихся в гиперплоскости на бесконечности, посредством насыщения относительно гомогенизирующей переменной. Важным свойством проективных пространств и проективных многообразий является то, что образ проективного многообразия при морфизме алгебраических многообразий замкнут в топологии Зариски (то есть является алгебраическим множеством). Это обобщение компактности действительного и комплексного проективного пространства на любое базовое поле. Проективное пространство само по себе является проективным многообразием, будучи множеством нулей нулевого многочлена.

Теория схемы

Теория схем, предложенная Александром Гротендиком во второй половине 20-го века, позволяет определить обобщение алгебраических многообразий, называемых схемами, путём склеивания меньших частей, называемых аффинными схемами, подобно тому, как многообразия строятся склеиванием открытых множеств Rⁿ. Конструкция Proj — это построение схемы проективного пространства и, в более общем случае, любого проективного многообразия, путём склеивания аффинных схем. В случае проективных пространств в качестве этих аффинных схем можно брать аффинные схемы, соответствующие координатным окрестностям (аффинным пространствам) в описании проективного пространства как многообразия.

Классификация

Размер 0 (без линий): пространство представляет собой одну точку. Размер 1 (ровно одна линия): все точки лежат на единственной прямой. Размер 2: существует по крайней мере 2 линии, и любые две линии пересекаются. Проективное пространство для n = 2 эквивалентно проективной плоскости. Их гораздо сложнее классифицировать, поскольку не все они изоморфны PG(d, K). Дезаргузианские плоскости (те, которые изоморфны PG(2, K)) удовлетворяют теореме Дезарга и являются проективными плоскостями над полями, но существует множество недезаргузианских плоскостей. Размер не менее 3: существуют две непересекающиеся линии. Теорему Веблена — Янга доказали, согласно которой каждое проективное пространство размерности n ≥ 3 изоморфно PG(n, K) — n-мерному проективному пространству над некоторым полем K.

Конечные проективные пространства и плоскости

Конечное проективное пространство — это проективное пространство, где множество P точек конечно. В любом конечном проективном пространстве каждая прямая содержит одинаковое количество точек, и порядок пространства определяется как единица меньше этого общего числа. Для конечных проективных пространств размерности не менее трех теорема Уэддерберна подразумевает, что кольцо делений, над которым определено проективное пространство, должно быть конечным полем GF(q), порядок которого (то есть количество элементов) равен q (степень простого числа). Конечное проективное пространство, определенное над таким конечным полем, имеет q + 1 точку на прямой, поэтому оба понятия порядка совпадают. В обозначениях PG(n, GF(q)) обычно записывается как PG(n, q). Все конечные поля одного и того же порядка изоморфны, поэтому, с точностью до изоморфизма, существует только одно конечное проективное пространство для каждой размерности, большей или равной трем, над заданным конечным полем. Однако, в размерности два существуют недезаргезианские плоскости. С точностью до изоморфизма существуют конечные проективные плоскости порядков 2, 3, 4, 10. Вычисление чисел, больших этих, очень затруднительно и не определено, за исключением некоторых нулевых значений в силу теоремы Брук-Райзера. Наименьшая проективная плоскость — плоскость Фано, PG(2, 2) с 7 точками и 7 прямыми. Наименьшее трехмерное проективное пространство — PG(3, 2) с 15 точками, 35 прямыми и 15 плоскостями.

Двойное проекционное пространство

Когда вышеуказанная конструкция применяется к двойственному пространству V^* вместо V, получается двойное проективное пространство, которое можно канонически отождествить с пространством гиперплоскостей, проходящих через начало координат в V. То есть, если V является n-мерным, то P(V^*) является грассманианом (n − 1)-мерных плоскостей в V.

В алгебраической геометрии эта конструкция обеспечивает большую гибкость при построении проективных расслоений. Желательно иметь возможность связать проективное пространство с каждым квазикогерентным пучком E над схемой Y, а не только с локально свободными пучками. Подробности см. в EGAII, гл. II, § 4.

Обобщения

измерение Проективное пространство, являющееся "пространством" всех одномерных линейных подпространств данного векторного пространства V, обобщается до грассманианового многообразия, которое параметризует подпространства большей размерности (зафиксированной размерности) в V. Последовательность подпространств В более общем случае, флаговое многообразие – это пространство флагов, то есть цепочек линейных подпространств V. Другие подмногообразия Ещё более общим образом, модульные пространства параметризуют объекты, такие как эллиптические кривые заданного вида. Другие кольца Обобщение на ассоциативные кольца (а не только поля) приводит, например, к проективной прямой над кольцом. Склейка Склейка проективных пространств дает проективные расслоения. Вариатеты Севери — Брауэра — это алгебраические многообразия над полем K, которые становятся изоморфными проективным пространствам после расширения базового поля K.

Другим обобщением проективных пространств являются взвешенные проективные пространства; они сами по себе являются частными случаями торических многообразий.